Вычисление площадей плоских фигур

.

Определённый интеграл

Занятие 9

1) 2).

3.Решить рациональные дроби:

1) 2) ; 3) ; 4) .

3.Применяя формулу интегрирование по частям, найти интегралы:

1) 2) 3)

4) ; 5) 6) 7) ; 8) .

Пусть функция определена на отрезке , . Разобьем этот отрезок на частичных отрезков точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку

Сумма - называется интегральной суммой для функции

на отрезке .

Предел интегральной суммы

при , который не

зависит ни от способа разбиения

отрезка на частичные отрезки,

ни от выбора точек в них, называется

определенным интегралом

от функции на отрезке

и обозначается

Свойства определённого интеграла.

1. ,

2. ,

3. .

.Формула Ньютона- Лейбница.

Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

.

Пример 1. Вычислить интегралы

а)

б) .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. .

Пример 3. Вычислить интеграл (заменой переменной).

Площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями , , расположенной выше оси Ох (), равна:

.

Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох (), то ее площадь может быть найдена по формуле

.

Пусть на отрезке заданны и непрерывны функции такие, что . Площадь фигуры , ограниченной кривыми , , и прямыми вычисляется по формуле:

.

Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

, вычисляется по формуле:

.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , вычисляется по формуле:

.

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры ограниченной линиями

х=0, у=4.

Решение. Будем иметь (ед²).

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

,

у

Решение.

х

Дата добавления: 2014-12-16