Двух положительных чисел

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Ключевая задача. Если , , то .

Следствие. .

1. Докажите, что при , , , .

На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел а и b, b и с, а и с запишем неравенства: ; ; .

Так как левая и правая части этих неравенств положительны, то эти неравенства можно почленно перемножить, в результате чего получим: ; .

2. Докажите, что при , , .

Применим теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел а и b, и : , .

Перемножив почленно эти неравенства, получим .

3. Докажите, что при , , , .

Запишем на основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом неравенства для пар чисел и , и 1:

, .

Сложим неравенства почленно, получим: .

Запишем теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел и : .

Тогда ; .

4. Докажите, что при , , , , .

; ;

.

5. Докажите, что при , , , .

Разложим квадрат суммы трех чисел: .

Применим теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом ко всем слагаемым:

; ; ; ;

; .

Сложим неравенства почленно, получим: или .

6. Докажите, что при .

При значения и положительны, а значит, по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел имеем: .

Для очевидно, что , или .

7. Докажите, что при , , , .

8. Докажите, что при , , , .

9. Докажите, что при , , , .

10. Докажите, что при , , , .

11. Докажите, что при , , , .

12. Докажите, что при , , , .

13. Докажите, что из всех прямоугольником с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть периметр прямоугольника равен p, а одна из сторон – , тогда длина другой стороны равна . .

; ; .

Так как при , наибольшую площадь имеет прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

14. Докажите, что из всех прямоугольником с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Пусть одна из сторон прямоугольника имеет длину , а его площадь – , тогда длина другой стороны – . .

; ; ; .

Так как при , то наименьший периметр имеет прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат.

15. Даны измерения а, b, с прямоугольного параллелепипеда. Можно ли подобрать такие числовые значения а, b, с, чтобы объем прямоугольного параллелепипеда был больше суммы объемов кубов с ребрами а, b, с?

Объем прямоугольного параллелепипеда можно записать в виде . По теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех положительных чисел , , имеем . Таким образом, нельзя подобрать такие числовые значения а, b, с, удовлетворяющие условию задачи.

16. Найдите максимальный объем прямоугольного параллелепипеда, если задана площадь его полной поверхности.

Пусть а, b, с – измерения прямоугольного параллелепипеда, – площадь полной поверхности, – объем. Тогда , .

Или , а .

Тогда ; ; .

Равенство достигается, если . То есть из всех прямоугольных параллелепипедов с данной площадью поверхности наибольший объем имеет куб.

17. Решите уравнение .

Первое слагаемое из левой части запишем в виде и это есть среднее геометрическое 1 и , тогда ; .

Аналогично, .

.

Раз левая часть исходного уравнения не больше выражения , то и его правая часть должна обладать тем же свойством, то есть

.

Решим это неравенство: ; ; ; .

18. Решите уравнение .

; ;

;

; ; ; .

19. При каком значении аргумента функция принимает наибольшее значение?

, .

; ; .

20. При каком значении аргумента функция принимает наибольшее значение? , .

; ; .

21. При каком значении аргумента функция принимает наименьшее значение? , .

; ; .

22. При каком значении аргумента функция принимает наименьшее значение? , .

;

23. При каком значении аргумента функция принимает наименьшее значение? , .

; .

24. При каком значении аргумента функция принимает наименьшее значение? , .

.

; .

См.: Генкин Г.З. Задачи на нахождение экстремумов функций в VII классе // Математика в школе. – № 9. – 2003. – с.51-54.

Далингер В.А. Как сделать теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом средством познания // Математика в школе. – № 9. – 2003. – с.54-56.

Приложение 2

Дата добавления: 2014-12-16