Данного треугольника

Треугольник, образованный основаниями высот

Ключевая задача. АА₁, ВВ₁, СС₁ – высоты треугольника АВС. Докажите, что а) треугольники АА₁С и ВВ₁С подобны; б) треугольники АВС и А₁В₁С подобны и .

Треугольники АА1С и ВВ1С подобны по двум углам. Из этого следует, что или . Треугольники АВС и А1В1С подобны, так как и – общий и .

Задачи системы:

1. АА₁, ВВ₁, СС₁ – высоты треугольника АВС. Докажите, что АА₁, ВВ₁, СС₁ – биссектрисы углов треугольника А₁В₁С₁.

Решение.

Треугольники АВС и А₁В₁С подобны, следовательно, .

Треугольники АВС и А₁ВС₁ подобны, следовательно, .

. Следовательно, АА₁ – биссектриса .

2. АА₁, ВВ₁, СС₁ – высоты треугольника АВС. Докажите, что .

Решение.

.

, , .

Имеем или . . Откуда .

3. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8см, 15см и 17см. Найдите стороны треугольника.

Решение.

Так как , то треугольник А1В1С1 – прямоугольный. Следовательно, , . , . , . Используя формулу понижения степени , .

, .

Рассуждая аналогично, можно найти сторону ВС. , , .

Приложение 7

Дата добавления: 2014-12-16