Основные формулы комбинаторики

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок:

, .

По определению, .

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Либо .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Классическое определение вероятности.

Случайным событием (или просто событием) в теории вероятности называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Событие – это возможный исход, или результат испытания.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через Ω.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Обозначается Ø.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т.е. они не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные шансы.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В одновременно).

Произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А, и В одновременно).

Событие называется противоположным событию A, оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило).

Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию .

Пусть события в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют исходов испытания. Тогда вероятностью P(A) события A в данном опыте называют . Это определение вероятности называют классическим.

Пример 7. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми?

Решение: Число всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть два, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 2 (полная группа событий):

.

Число благоприятствующих исходов (сколькими способами можно из 3 шаров выбрать 2): . Следовательно, искомая вероятность .

Дата добавления: 2014-12-16