Действия над матрицами

Две матрицы А и В одинаковой размерности называются равными, если их элементы, стоящие на одинаковых местах, равны между собой, т.е. a_{ij =} b_ij для всех i и j (i = 1, ..., m; j = 1,..., n). Матрицы одинаковой размерности можно складывать. Суммой двух матриц А и В является матрица С такой же размерности, элементы которой определяются равенством c_ij=a_ij+b_ij. Например,

.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица λ А, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l. Например,

.

Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то получится матрица А^Т, которая называется транспонированной к матрице А. Например,

, ; , .

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то определено произведение матриц А и В, т.е. новая матрица С = АВ, в которой каждый элемент c_ij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В, т.е.

.

Пример 1.

.

Если число столбцов матрицы А и число строк матрицы В различны, то произведение АВ не определено.

Замечание. Следует помнить, что произведение АВ и произведение ВА не обязаны совпадать, т.е., вообще говоря, АВ≠ВА. Например, для матриц из предыдущего примера имеем

.

.

Свойства операций над матрицами.

1. A+B=B+A;

2. λ(A+B)=λA+ λB;

3. (AB)C=A(BC);

4. (A+B)C=AC+BC;

5. C(A+B)=CA+CB;

6. (A+B)^T=A^T+B^T;

7. (λA)^T= λA^T;

8. (AB)^T=B^TA^T.

Дата добавления: 2014-12-17