Пример 1. Примеры решения задач

Примеры решения задач

Кривые второго порядка

Окружность. Если r – радиус окружности, а точка С(a,b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид

(x - a)²+(y - b)²=r².

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид

x ²+ y ²=r².

Парабола. Уравнение параболы вида y =A x ²+B x +C (или x =A y ²+B y +C) приводится к виду (x -a)²=2p(y -b) (или (y -b)²=2p(x -a)), тогда точка О(a,b) служит вершиной параболы, а знак p определяет в какую сторону направлена парабола (p>0 – вправо, p<0 – влево).

Пятичленное уравнение кривой второго порядка. Уравнение второй степени вида A x ²+C y ²+2D x +2E y +F=0 (не содержащее члена ху с произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости х О у эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов А и С.

1. Пусть АС > 0; тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку); при А=С эллипс превращается в окружность.

2. Пусть АС < 0; тогда соответствующая кривая является гиперболой, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей;

A x ²+C y ²+2D x +2E y +F=(a₁ x +b₁ y +c₁)(a₂ x +b₂ y +c₂).

3. Пусть АС=0 (т.е. либо А=0, С≠0, либо С=О, А≠0); тогда уравнение определяет параболу, которая может вырождаться в две параллельные прямые (действительные различные, действительные слившиеся или мнимые), если левая часть уравнения не содержит либо х, либо у (т.е. если уравнение имеет вид A x ²+2D x +F=0 или C y ²+2E y +F=0).

Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преобразованием уравнения к виду А(х-х₀)²+С(у-y₀)²= f (в случае АС > 0 или АС < 0); по виду полученного уравнения обнаруживаются и случаи распада или вырождения эллипса и гиперболы.

Найти координаты центра и радиус окружности 2 х ²+2 у ²-8 х +5 у -4=0.

Решение.

Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим х ²-4 х + у ²+(5/2) у =2. Дополним выражения х ²-4 х и у ²+(5/2) у до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму (5/4)2 (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

или .

Таким образом координаты центра окружности a=2, b=-5/4, а радиус окружности r=11/4.

Дата добавления: 2014-12-17