Основные сведения о пределах

ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ

Задачи для самостоятельного решения

Пример 1.

Примеры решения задач

Решить систему .

Решение.

, ,

Значит , .

Задание 1.

Решением системы уравнений является…

£

R

£

£

£

Задание 2.

Решением системы уравнений является…

£

£

£

£

R

Решением системы уравнений является…

£

£

£

R

£

Число а называется пределом последовательности х ₁, х ₂, …, х _n, если для всякого сколь угодно малого положительного числа е найдется такое положительное число N, что | x _n-a| < е при n > N. В этом случае пишут .

Число А называется пределом функции f (x) при x→a, если для любого сколь угодно малого е > 0 найдется такое д > 0, что | f (x)-A| < е при 0 < |x-a| < д. Это записывают так: .

Аналогично , если | f (x)-A| < е при |x| > N.

Условно записывают , если | f (x)| > M при 0 < |x-a| < д, где М – произвольное положительное число.

В этом случае функция f (x) называется бесконечно большой при x→a.

Если , то функция б(х) называется бесконечно малой при x→a.

Если x < a и x→a, то употребляют запись x→a-0; если x > a и x→a – запись x→a+0. Числа и называются соответственно левым и правым пределом функции f (x) в точке а.

Для существования предела функции f (x) при x→a необходимо и достаточно, чтобы f (a-0)= f (a+0).

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

Используются также следующие пределы:

(первый замечательный предел);

(второй замечательный предел).

Логарифм числа х по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

, , .

Дата добавления: 2014-12-17