Производная и дифференциал

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Задачи для самостоятельного решения

Пример 6.

Найти предел .

Решение.

Обозначим x =2 t. Если х →∞, то и t →∞. Получим

.

Задание 1.

Предел равен…

£

£

£

R

£

Задание 2.

Предел равен…

£

R

£

£

£

Задание 3.

Предел равен…

£

R

£

£

£

Задание 4.

Предел равен…

£

£

£

£

R

Задание 5.

Предел равен…

R

£

£

£

£

Задание 6.

Предел равен…

£

£

£

R

£

Задание 7.

Предел равен…

£

£

R

£

£

Задание 8.

Предел равен…

£

£

£

£

R

Задание 9.

Предел функции равен:

£ -3/5

R 3/5

£ 5/3

£ -5/3

Задание 10.

Ответ: 1.

Задание 11.

Ответ: 1.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция f (x), определенная на некотором промежутке (а, b), пусть х — некоторое значение аргумента из рассматриваемого промежутка. Дадим аргументу х некоторое приращение ∆ х (оно может быть положительным или отрицательным, но новое значение аргумента должно находиться внутри рассматриваемого промежутка). Тогда и сама функция получит некоторое приращение f (x + ∆ х) = у + ∆ у.

Производной функции называется предел (если он существует), к которому стремится отношение приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю ∆ х, обозначается у ^' или d у / d х:

.

Если существует предел слева (или справа ), то этот предел называется левой (правой) производной функции f (x) в точке х.

Дифференцирование — это процесс нахождения производной функции.

Дифференцируемая функция в точке — это функция, которая имеет производную в этой точке. Разрывная функция в точке разрыва не может иметь производной.

Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Геометрический смысл производной: пусть дана функция f (x). Угловой коэффициент касательной к кривой у = f (х) в точке с абсциссой х есть производная f (х). Если производная некоторой функции тождественно равна нулю, то эта функция обязательно постоянна.

Дата добавления: 2014-12-17