Понятие временного ряда. Трендовые модели

Наиболее распространенными формализованными методами прогнозирования являются эстраполяционные, а модели временных рядов — один из наиболее распространенных видов экстраполяци-онных прогнозных моделей. Временной ряд — это последователь­ность упорядоченных во времени числовых показателей, характери­зующих уровень состояния и изменения изучаемого явления. Уро­вень временного ряда — значение показателя, динамика которого во времени отображена в виде временного ряда, в рамках ряда.

Временные ряды различаются по следующим признакам.

По в р емени можно обозначить моментные и интервальные временные ряды. Интервальные временные ряды — последователь­ности значений, в которых уровни ряда относят к результату, нако­пленному или вновь достигнутому за определенное время (напри­мер, объемы производства продукции промышленности по меся­цам). Моментный ряд содержит значения показателя на опреде­ленный момент времени, на конкретную дату, момент (например, поголовье крупного рогатого скота на начало года). Показатели ин­тервального ряда вполне могут суммироваться. Сумма значений показателей моментного ряда обычно не рассчитывается: часто она не имеет реального содержания и практического смысла.

По форме представления уровней ряда выделяют ряды аб­солютных, относительных и средних величин.

По расстоянию между датами или интервалами време­ни — полные и неполные временные ряды. Полные ряды вы­строены с равными промежутками между значениями, в неполных принцип равенства периодов времени между уровнями ряда не со­блюдается.

По содержанию показателей выделяют ряды частных и агрегированных показателей. Частные показатели характеризуют один конкретный частный признак изучаемого явления. К рядам частных показателей относится, например, временной ряд погодо-вых значений показателя выпуска студентов вузами страны. Агре­гированные показатели основаны на частных и характеризуют изу­чаемое явление комплексно. Примером агрегированного показателя можно считать индекс инфляции, индекс физического объема про­изводства промышленной продукции.

Обычно прогнозирование на основе временных рядов осущест­вляется с помощью изучения и экстраполяции временного тренда. Простая трендовая модель динамики на основе временных рядов показателя — это уравнение тренда с указанием начала отсчета единиц времени. Прогноз по этой модели заключается в подстанов­ке в уравнение тренда номера периода, который прогнозируется.

Определение параметров уравнения тренда может осуществ­ляться практически теми же методами, что и для уравнений регрес­сионной зависимости, активно используемых в эконометрическом моделировании (парная регрессия), поскольку математически форма уравнений одинакова. Только место факторной переменной занимает фактор «период». Наиболее часто используемый сегодня метод — метод наименьших квадратов (МНК). Нелинейные разновидно­сти уравнений тренда могут быть сведены к линейным, что также позволяет использовать для определения их параметров МНК. Но при этом нужно помнить, что ряд значений показателей времени должен соответствовать типу тренда. Например, для прямолинейного тренда дискретный ряд показателей времени начинается со значения 1 и продолжается по порядку: 2, 3, 4 и т. д. Для иных видов тренда последовательность значений времени может быть и иной (напри­мер, для логарифмического уравнения тренда нумерация может на­чинаться не с 1, а с другой цифры, скажем, 4 или 5, что связано с математическими особенностями логарифмического выражения).

Среди разновидностей моделей на основе временных рядов можно выделить:

1) модели собственно тренда:

Y(f) = T(f) + s_t,

где T(t) — временной тренд заданного вида (например, линейный T(t) = a + bxt; e_t — стохастическая (случайная) компонента;

2) модели сезонности:

Y(t)=S(t) + e_t,

где S(t) — периодическая (сезонная) компонента; e_t — стохасти­ческая (случайная) компонента;

3) модели тренда и сезонности:

Y(t)=T(t) + S(t) + e_t, аддитивная («дополняющая»),

Y(t) = T(t)xS(t)+e_t, мультипликативная («множительная»),

где T(t) — временной тренд заданного вида; S(t) — периодиче­ская (сезонная) компонента; e_t — стохастическая (случайная) ком­понента.

К моделям временных рядов относится множество более слож­ных моделей, таких как модели адаптивного прогноза, модели ав­торегрессии и скользящего среднего (ARIMA) и др. Их общей чер­той является объяснение поведения показателя во времени, исходя только из его предыдущих значений. Такие модели могут приме­няться, например, для прогнозирования объемов производства, объ­емов продаж, краткосрочного прогноза процентных ставок и т. п.

Разновидности уравнений временного тренда

Далее характеризуются наиболее распространенные и простые математические формы отображения тренда. Их набор вполне дос­таточен для отображения большинства из встречающихся тенден­ций временных рядов. При этом желательно из всех возможных уравнений тренда выбирать простейшее, что обусловлено простым правилом: чем сложнее уравнение тренда, тем сложнее гарантиро­вать надежность оценок, тем потенциально выше опасность ошибок.

Самым простым типом линии тренда является прямолиней­ный тренд, описываемый уравнением первой степени:

у, =a+bxt,,

где ŷi —выравненные уровни тренда по периодам (моментам) i; а — свободный член уравнения, численно равный среднему уров-ню для периода (момента) t_t = 0; b — средняя величина изменения уровня ряда за один период (момент) времени; t_t — номера перио-дов (моментов) времени, к которым относятся соответствующие уровни временного ряда.

Этот тип тренда подходит для отображения примерно равно-мерных пропорциональных изменений уровней ряда. Практика по-казывает, что такая динамика встречается довольно часто. Знак па-раметра b показывает направленность изменений: отрицательный знак говорит о тенденции убывания.

значения

уровней

ряда,

У

время, t Рис. 5. Прямолинейный тренд

тенденция, выраженная полино-

Дата добавления: 2014-12-17