Особенности прогнозирования на основе трендовых моделей

Ъ

Параболический тренд

мом (параболой) 2-го порядка:

у_{ =а₀+а ₁ х t_t +a₂x t ².

Полиномы более высоких порядков (3-го и выше) значительно реже применяются для выражения тенденций динамики, поскольку гораздо сложнее с точки зрения получения надежных оценок.

В уравнении тренда а_х — это средний за весь изучаемый пе­риод прирост, который изменяется равномерно с ускорением, рав­ным а₂. Последнее (ускорение) и служит собственно константой выражения.

Тренд в форме параболы используется для отображения тен­денций, которым свойственно примерно постоянное ускорение аб­солютных изменений уровней. Такие случаи сравнительно более редки, чем линейные процессы, но, с другой стороны, любое откло­нение от линейного роста можно интерпретировать как наличие ускорения. Подобными характеристиками могут обладать, напри­мер, приросты производства продукции отраслями экономики в фа­зе циклического подъема экономической конъюнктуры.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 6. Параболический тренд

Относительно статистики, трендом можно обычно считать только одну из ветвей параболы (обычно правую). В более кон­кретных ситуациях, тем не менее, возможно и объединение обеих ветвей в единый тренд.

Характер тренда определяется знаками а_{ и а₂ (величина а₀ обычно всегда положительна):

— а ₁ > 0 и a ₂ > 0 — восходящий тренд;

— a ₁ < 0 и a ₂ < 0 — нисходящий тренд;

— a ₁ > 0 и a₂ < 0 означает либо восходящий тренд с замедляю­щимся ростом уровней (одна ветвь параболы), либо обе ветви, ко­гда их можно считать одной тенденцией;

— Oj < 0 и а₂ > О означает либо нисходящий тренд с замедляю-щимся ростом уровней (одна ветвь параболы), либо обе ветви, ко-гда их можно считать одной тенденцией.

Экспоненциальный тренд характеризуется выражением:

у_{ =ахк'', или в форме у_{ = expfln a + lnkt_t].

Основной параметр к является постоянным цепным темпом из-менений уровней. Если к > 1, имеет место тренд с возрастающими уровнями, а равно с возрастающим ускорением роста и возрастаю-щими производными всех более высоких порядков. Если к<\, име­ет место тенденция постоянного, но замедляющегося убывания.

Экспоненциальный тренд описывает процессы, развивающиеся в условиях отсутствия значимых ограничений изменения уровня. Уровни тренда представляют собой геометрическую прогрессию. Очевидно, что обычно он имеет место на ограниченных отрезках времени.

значения

уровней

ряда,

время, t Рис. 7. Экспоненциальный тренд Основное выражение гиперболического тренда:

y_t =a + —. t_i

Свободный член уравнения, таким образом, — это предел, к которому стремятся уровни ряда. Такая тенденция характерна для процессов, демонстрирующих тенденцию к замедляющемуся снижению значений показателя, которые, однако, не могут умень-

шиться более некоторого нижнего значения. Например, такими свойствами могут обладать тенденции снижения затрат на произ­водство. В случае Ъ < О с течением времени уровни тренда, наобо­рот, возрастают, стремясь к а.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 8. Гиперболический тренд

Если изучаемый и прогнозируемый процесс приводит к замед­лению роста показателя, но не вызывает прекращения роста, то вполне адекватным отображением тенденции может стать уравне­ние логарифмического тренда:

у_{ = a+bxlnt_t.

значения

уровней

ряда,

У

Рис. 9. Логарифмический тренд

Подбирая начало отсчета периодов, можно найти такую ско­рость изменений, которая наиболее точно отвечает фактическому временному ряду.

Логистическая форма уравнения тренда подходит для описания процесса, когда изучаемый показатель проходит полный цикл раз­вития, начиная от нижнего (как правило, нулевого) уровня, снача­ла медленно с ускорением возрастая, после чего тенденция стано­вится приблизительно прямолинейной. В завершающей части цикла рост замедляется по гиперболе по мере приближения к пределу. В некоторых зарубежных прикладных пакетах статистического анализа логистическая кривая называется S-образной кривой.

Можно считать логисту объединением сразу трех видов тенден­ций: парабола — прямая — гипербола. Но есть и доводы за рас­смотрение логистического тренда как самостоятельного. Его выделе­ние позволяет уже на первом этапе определить всю траекторию раз­вития явления, выяснить сроки перехода от ускоренного роста к за­медленному, что может оказаться весьма важным для прогноза.

значения

уровней

ряда,

У

время, t

Рис. 10. Логистический тренд

При изменении уровней от нулевого уравнение тренда по ло­гисте имеет вид:

Уг

.

ea ₀ + a ₁ t_i +1

При а₀ > О и а-i < 0 с ростом номера периодов времени будет иметь место тенденция роста уровней. Если нужно начать рост поч-

ти с нуля, то должно быть а₀ ~ 10. Чем больше будет модуль а_ъ тем быстрее будут возрастать уровни. При а_{ < 0 и а₂ > 0 имеет место тренд снижения уровней ряда, если нужно начать снижение почти от 1, то должно быть а₀ ~ -10. Чем больше будет а_ъ тем быстрее бу­дут снижаться уровни.

Если диапазон изменения уровней ограничен не нулем и еди­ницей, а обозначенными, исходя из условий, y_msx и у^_п, то формула логистического тренда примет вид:

- _ .Углах ~Утт, ^Уг ~ _еЯо+аЛ +1 ^Утт'

Графическое отображение во многих случаях позволяет при­ближенно выявить тип уравнения, наиболее адекватный тенденции временного ряда. Но при этом следует соблюдать некоторые прави­ла построения графика. Требуется точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по шкале времени. Время от­кладывается обычно по оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. По каждой оси следует установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Ес­ли уровни ряда различаются в десятки, сотни, тысячи раз, ось ор­динат имеет смысл разместить в логарифмическом представлении, равные отрезки будут означать различие уровней в одинаковое число раз. Тогда изменится и интерпретация графика: при линей­ном масштабе прямая будет означать прямолинейную тенденцию, при логарифмическом — экспоненту. Нужно соблюдать равенство величин, отображающих время на горизонтальной оси, тут лога­рифмическая шкала не рекомендуется, это значительно осложнит прочтение графика.

Но графический метод не всегда дает хороший результат. На­пример, таким путем трудно бывает отличить параболу от экспо­ненты, логарифмическую кривую от гиперболы и т. д. Хотя специа­лизированные прикладные программные пакеты значительно об­легчают анализ, в них нередко встроены средства быстрого расчета и нанесения на график линии тренда в соответствии с различными предположениями о его характере (например, нанесение линии тренда на диаграммы в MS Excel). Кроме того, не всегда вариант уравнения тренда, «лучший» внешне, является лучшим с аналити­ческой и статистической точек зрения. Поэтому имеет смысл ис-

пользовать и иные методы определения типа уравнения тренда: ме­тод последовательных разностей, МНК (выбор уравнения тен­денции, дающего наименьшую сумму квадратов отклонений) и др.

Трендовое прогнозирование обладает следующими свойствами:

— для крупных сложных объектов и систем, имеющих боль­шую инерционность развития, прогноз по тренду, выявленному на базе изучения предыдущего развития, как правило, вполне реален и надежен;

— выясненные параметры тренда (т. е. константы аппроксими­рующих тренд выражений) должны быть статистически надежны, что достаточно легко проверить. Если они не надежны, то ненаде­жен и прогноз;

— срок упреждения прогноза должен быть не более половины периода основания прогноза (лучше — не более трети). То есть, если период основания прогноза, в рамках которого изучалась тен­денция явления, составляет, скажем, 30 лет, то возможный период упреждения — 10-15 лет максимум.

У прогнозирования на базе временных рядов с помощью выяс­ненной тенденции развития есть некоторые преимущества перед другими методами прогнозирования, есть и недостатки.

Уравнение тренда имеет преимущества перед «обычной» стати­стической регрессией по потенциальной ширине охвата факторов, влияющих на динамику изучаемого явления. Коэффициент при но­мере периода в уравнении тренда — это комплексный коэффици­ент регрессии при всех реальных факторах, влияющих на уровень изменяющегося показателя, которые сами изменяются во времени. «Обычная» регрессия (которая, кстати, составляет основу экономет-рических моделей) позволяет учесть только часть факторов, влия­ние остальных «списывается» на ошибку регрессии.

Второе преимущество состоит в том, что уравнение тренда есть модель динамики процесса, и на ее основании мы прогнозируем динамику, т. е. логическая основа тренда соответствует задаче. На­против, уравнение многофакторной регрессии — это модель вариа­ции уровня показателя в статической совокупности. Логическая ба­за прогноза по многофакторной регрессии в статике не совсем аде­кватна задаче прогнозирования.

Последнее, хотя и не очень существенное, преимущество про­гноза по тренду заключается в том, что для него не требуется большого объема исходной информации о факторах, как для мно­жественной регрессии. Достаточно однородного по характеру тен­денции периода, допустим, за 20-25 лет.

Но прогноз на основе временного тренда может не давать кор­ректных результатов в случае высокой нестабильности объекта предсказания. Нет возможности проигрывать разные варианты про­гноза при разных сочетаниях значений факторов, что обычно дела­ется при прогнозе по регрессионной модели с управляемыми фак­торами (т. е. сделать прогноз действительно вариативным). Кроме того, наилучшие результаты трендовое прогнозирование дает на от­носительно коротких периодах упреждения (краткосрочный, если по годам — среднесрочный прогноз).

Прогноз производится по такому общему алгоритму:

1) упорядочение прошлых данных;

2) сглаживание временного ряда;

3) выделение тренда;

4) определение уравнения тренда;

5) расчет прогнозного значения;

6) оценка доверительного интервала с заданной вероятностью. В процессе выяснения тренда показателя может потребоваться

учет повторяющихся колебаний в рамках самой основной тенден­ции, своего рода тренда внутри тренда. В данном случае речь идет о периодической колеблемости неслучайного характера, например о сезонности. В этом случае трендовую модель имеет смысл допол­нить до модели тренда и сезонности.

Такую коррекцию можно провести с помощью индексов сезон­ности. Сезонность — явление, имеющее обычно ежегодную повто­ряемость. Для ее определения желательно проанализировать дан­ные по 7-ми — 10-ти периодам, в которых имеет она место. Можно обойтись и меньшим числом периодов (например, лет), но тогда достоверность наличия выявленной закономерности снижается.

Можно рассчитывать индексы сезонности как частное от деле­ния отдельных уровней ряда на средний по всему ряду, для которо­го определяется сезонность, уровень. Например, сезонность в рамках года определима индексами, получаемыми в результате деления

месячных уровней на среднемесячное значение уровня ряда за весь год. Умножение на 100 даст величину индекса в процентах.

Возможен и расчет сезонных индексов с использованием весов. Тогда используется несколько иной алгоритм расчетов. Обратимся к примеру расчета квартальной сезонности в течение года на осно­ве помесячных данных за несколько лет:

1) определяются индексы сезонности путем соотнесения эмпи­
рических данных (у,) с рассчитанными по уравнению тренда (у;)
для сезона (месяц):

!<* = ¥-;

Дата добавления: 2014-12-17