Общее понятие эконометрических моделей

ЦУг

С

Уг

2) рассчитываются средние значения уровня ряда y_i за периоды, для которых предполагается тенденция сезонности (в данном приме­ре — по годам), достаточно средней арифметической простой;

3) определяется средневзвешенное значение индекса сезонно­сти (Icj) для каждого уже укрупненного периода времени — соб­ственно сезона (квартал). Роль весов играют средние значения уровней ряда для годов, рассчитанные ранее, где I_ci — индексы сезонности по месяцам:

Далее модель тренда преобразуется в мультипликативную мо­дель тренда и сезонности: значения ряда, рассчитанные по тренду, домножаются на соответствующий сезону индекс сезонности.

Учет периодической колеблемости может осуществляться и иными способами (например, на основе рядов Фурье).

§ 2. Эконометрическое моделирование

Эконометрические модели (в основе которых лежат методы статистики, точнее — регрессионного анализа) из всех формализо­ванных методов прогнозирования используются, возможно, наибо­лее часто (по крайней мере, за рубежом).

В качестве самостоятельной отрасли знания эконометрика оформилась в начале 30-х гг. XX в. Термины «эконометрика» и «эконометрия» стали общеупотребительными благодаря норвеж­скому экономисту Р. Фришу. Согласно Р. Фришу, эконометрика объединяет «как чистую экономическую теорию, так и статистиче­скую проверку законов чистой экономической теории». Более кон­кретно: «сущность эконометрики заключается во взаимном пере­плетении количественной экономической теории и статистических оценок»²⁷. Отсюда следует, что к числу эконометрических относят­ся отнюдь не все модели, а лишь такие, которые позволяют прово­дить статистические операции. Существует не мало моделей и раз­вернутых на их основе «количественных теорий», являющихся эко­номико-математическими, но вовсе не эконометрическими. По­скольку за каждой переменной эконометрической модели стоит определенный статистический индикатор, с той или иной точностью измеряющий какую-то сторону хозяйственного механизма, расчеты на базе этой модели, как правило, имеют достаточно высокую практическую ценность. Они могут быть использованы при выра­ботке экономической политики государства, рыночной стратегии фирмы и решении других конкретных задач.

Методологическая особенность эконометрики заключается в применении общих гипотез о статистических свойствах экономи­ческих параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержа­нию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная за­дача эконометрики — создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых ха­рактеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы «подгонки» формальной моде­ли с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемо­го объекта на основе гипотезы о том, что отклонение модельных параметров от реально наблюдаемых случайно и вероятностные ха­рактеристики их известны.

Главным инструментом эконометрики служит эконометриче-ская модель — модель факторного анализа, параметры которой

²⁷ Лауреаты Нобелевской премии: Энциклопедия: В 2 т.: Пер. с англ. М.: Про­гресс, 1992. Т. 2. С. 604.

оцениваются средствами математической статистики. Такая модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкрет­ных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Можно выделить два основных класса эконометрических мо­делей:

1. Регрессионные модели с одним уравнением. В таких
моделях зависимая (объясняемая) переменная Y представляется в
виде функции /(х,р) = /(х₁,...,х„,р₁,...,р_я!), где х_и..., х_п — независи­
мые (объясняющие) переменные, р_ь..., р_т — параметры.
В зависимости от вида функции / ( х,Р ) модели делятся на линей­
ные и нелинейные. Например, можно исследовать среднедушевой
уровень потребления населения как функцию от уровня доходов
населения и численности населения, или зависимость заработной
платы от возраста, пола, уровня образования, стажа работы и т. п.
По математической форме они могут быть схожи с моделями вре­
менных рядов, в которых в качестве независимой переменной вы­
ступает значение момента времени.

Область применения таких моделей, даже линейных, значи­тельно шире, чем моделей временных рядов. Проблемам теории оценивания, верификации (проверки на практике), отбора значимых параметров и другим посвящен огромный объем литературы. Эта тема — стержневая в эконометрике.

2. Системы одновременных уравнений. Эти модели описы­
ваются системами уравнений. Системы могут состоять из тождеств
и регрессионных уравнений, каждое из которых (кроме независи­
мых переменных) может включать в себя также зависимые пере­
менные из других уравнений системы. В результате имеется набор
зависимых переменных, связанных через уравнения системы, ре­
шаемые одновременно. Примером может служить модель Уортона,
имеющая очень большую размерность (уортоновская квартальная
модель американской экономики содержит более 1 тыс. уравнений).

Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

С помощью методов регрессионного анализа, основных для эконометрического моделирования, строятся и проверяются модели, характеризующие связь между одной эндогенной (зависимой) пе-

ременной и одной или более экзогенными (независимыми) пере­менными. Независимые переменные называются регрессором.

Направленность связи между переменными определяется пу­тем предварительного обоснования и включается в модель в каче­стве исходной гипотезы. Задача регрессионного анализа — провер­ка статистической состоятельности модели, если данная гипотеза верна. Регрессионный анализ не в состоянии «доказать» гипотезу, он может лишь подтвердить ее статистически или отвергнуть.

Рассмотрим методологию построения регрессионных эко-нометрических моделей на примере моделей из одного уравне­ния. Модели в виде системы уравнений, обладая своими особенно­стями (в частности, при определении параметров-коэффициентов модели), также базируются на ней²⁸.

В общем виде регрессионное уравнение выглядит так:

Y = y_t(x) +e,

где ŷi(x) — функция, которая описывает детерминированную со­ставляющую модели (само уравнение регрессии); е представляет собой «случайную» компоненту.

Обычно наиболее часто для отображения зависимости исполь­зуются линейные регрессионные уравнения, отображающие зави­симость в виде прямой в многомерном пространстве. В случае с парной линейной регрессией это знакомое всем со школы уравне­ние прямой:

7 = а + рх + е.

Здесь а — постоянная составляющая, т. е. даже если х = О, то Y все равно будет иметь какое-либо положительное или отрицательное значение; (3 обычно называют коэффициентом регрессии, он отража­ет наклон линии графика, вдоль которой рассеяны значения Y, вы­явленные в результате наблюдения за поведением У, а не в резуль­тате расчетов в соответствии с моделью; е — ошибка или значение помехи, также называемая остатком. Существование остатка может быть объяснимо либо тем, что кроме рассматриваемого фактора х на значение зависимой переменной могут влиять и другие факторы, не-

²⁸ О моделях в виде системы уравнений см., например: Эконометрика: Учеб. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. С. 177-224.

учтенные в модели, либо трудностями измерения х. Математическое ожидание (среднее значение) ошибки е равно нулю.

В качестве факторной переменной может учитываться показа­тель времени t. Тогда мы имеем дело с уравнением тренда. В слу­чае с линейным трендом значения t = 1, 2, 3,... п.

Метод наименьших квадратов ( МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS) является одним из основных методов опре­деления параметров регрессионных уравнений. Он заключается в том, чтобы определить вид кривой, характер которой в наибольшей степени соответствует выраженной эмпирическими данными зави­симости. Такая кривая должна обеспечить наименьшее значение суммы квадратов отклонений эмпирических значений величин по­казателя от значений, вычисленных согласно уравнению этой кри­вой. Меняя вид теоретических кривых, приближенно отображаю­щих динамику рассматриваемого показателя, пытаются добиться как можно меньшего значения этой разности.

Пусть теоретическая зависимость линейна (парная регрессия, прямая в двухмерном пространстве) и выражена регрессионным уравнением:

Y_t =a+bx.

Коэффициент Ь можно определить по формуле:

SSr-rJxf'-J

Ь = ^.

п z' = l

Определим а, подставив в уравнение прямой, параметры кото­рого находим, значение уже известного параметра Ь и средние зна­чения х_ср и У_ср:

a = Y _cp -b x x _cp

Допустим, связь между двумя показателями парной регрессии выражена функцией:

Y(x) = а₀ + OjXj + а₂х₂ +... + a_kx^k,

т. е. в виде многочлена степени k.

Тогда вектор-столбец a = (a₀,a_ua₂,...,a_kJ ²⁹ коэффициентов мно­гочлена Y(x) является единственным решением матричного урав-

нения:

X^TXxa=X^TY,

где Y = (Y₁,Y₂,...,Y_nf — вектор-столбец последовательных значений величины У. Отсюда а (вектор оценок параметров) может быть найден по формуле:

а = \Х^тХ) xX^TY

Матрица X имеет вид:

X ■-

(\ 2 кЛ

1 Xj Xj... Xj

2 к

1 х₂ х2... х₂

1 х_п х_п... х_п

Линейная многомерная регрессионная модель (модель множе­ственной линейной регрессии) является обобщением модели пар­ной линейной регрессии. Она имеет вид:

Г(х) = а₀ +otjX_w +a₂x_2t + a₂x_3t +... + a_mx_mt + e, t = \, 2,...,n,

где х_mt — значение фактора-регрессора х_т в момент наблюдения t, при Оо вектор независимых переменных х₀ = (1, 1,..., 1). В этом слу­чае Оо — так называемый свободный член. Такая модель с учетом допущений, перечисленных выше, называется нормальной линей­ной регрессионной моделью.

Удобно будет представить формулу в матричном виде. Обозна­чим через Y вектор-столбец значений зависимой переменной (Y_h Y₂,..., Y_n); a — вектор-столбец коэффициентов (ао, а_ь а₂,..., а^); е — вектор-столбец стохастических компонент (ошибок) (е₀, е_ь е₂,..., е„); X — матрица независимых переменных размерности пхт:

Дата добавления: 2014-12-17