Пример 2. На тело, которое находится в равновесии, действует произвольная плоская система сил (рис

На тело, которое находится в равновесии, действует произвольная плоская система сил (рис. 2.2). Не нарушая общности можно считать, что плоскость действия сил совпадает с плоскостью рисунка, а вместо тела рассматривается сечение его этой плоскостью – плоское материальное тело. Такое тело обладает тремя степенями свободы. В качестве обобщённых координат примем (как это было в кинематике) координаты некоторой точки А тела и угол поворота тела вокруг этой точки, т.е.

А

Рис. 2.2

Для вывода уравнений равнове-сия воспользуемся тем, что обобщённые координаты независимы между собой и зададим телу такое возможное переме-щение, при котором изменяется только, например, на величину Это означает, что тело «перемещается»

поступательно в направлении оси на это расстояние, (на самом деле тело находится в равновесии и это «перемещение» – лишь воображаемое нами (см. рис. 1.1).

Так как тело находится в равновесии, то на основании (2.1) получаем:

.

Отсюда (т.к. ):

. (в)

Аналогично получается и второе уравнение равновесия:

. (г)

Чтобы получить третье уравнение, зададим телу такое возможное перемещение, при котором и остаются неизменными, а dq ₃ = dj ¹ 0. То есть тело «поворачивается» на бесконечно малый угол вокруг точки

Согласно (2.1):

(суммарная элементарная работа сил,

приложенных к вращающемуся телу).

Так как , то

. (д)

Уравнения (в), (г) и (д) – искомые аналитические уравнения равновесия свободного твёрдого тела под действием произвольной плоской системы сил.

Пример 3

Вывести условие равновесия рычага под действием сил , приложенных к нему и действующих в плоскости рисунка (рис. 2.3, а).

Рычагом называется твёрдое тело, способное поварачиваться вокруг неподвижной оси и находящееся под действием системы сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Дадим рычагу возможное перемещение поворотом на угол , например, против часовой стрелки (рис. 2.3, б), так как он обладает одной степенью свободы (см. параграф 1.4).

а)	б)
Рис. 2.3

Суммарную возможную работу активных (заданных) сил, приложенных к рычагу, найдём по формуле:

.

Так как в соответствии с принципом возможных перемещений , а , то

.

Это и есть искомое условие равновесие рычага.

Дата добавления: 2014-11-29