Примеры решения задач. Углы между осями координат и вектором

Углы между осями координат и вектором

Углы α,β,γ образуемые положительными направлениями OX, OY, OZ с вектором = {a_x a_y a_z} (рис. 1.14), можно найти по формулам

, (1.11)

, (1.12)

.

Рис. 1.14

(1.13)

Задача 1.1

Самолет держит курс на север со скоростью = 200м/с относительно Земли. Дует западный ветер со скоростью относительно Земли = 15 м/с. Найти скорость самолета v относительно воздуха.

Дано: = 200 м/с; = 15 м/с.

Найти: v.

Решение Скорость самолета относительно воздуха равна . Изобразим треугольник скоростей (рис. З 1.1).

Так как , модуль искомой скорости находим по теореме Пифагора:

=200,56м/с.

Ответ: скорость самолета относительно воздуха

v = 200,56м/с.

Задача 1.2

К телу приложены силы и , угол между которыми = 20°. Найти модуль результирующей силы , действующей на тело, если = = 20Н.

Дано: = 20°; = 20 Н; = 20Н.

Найти: F.

Решение. Результирующая сила , действующая на тело, — это векторная сумма сил и : (рис. З 1.2). Найдем сумму векторов и по правилу параллелограмма. Для треугольника сил ОДЕ (ОД = , ДЕ = , ОЕ = ) запишем теорему косинусов в виде:

, где α =180° - .

Так как по условию то

39.4Н.

Ответ модуль результирующей силы F 39,4 Н.

Задача 1.3

Тело массой m = 1кг движется с постоянной по модулю скоростью v = 10м/с по окружности. Найти модуль изменения импульса тела при прохождении четверти окружности (импульсом называется произведение массы тела m на его скорость ).

Дано: v = 10 м/с; m = 1кг.

Найти: .

Решение. Изменение какой-либо величины - это разность конечной и начальной величины. Значит, = - . Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь по часовой стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по определению есть = m , то векторы и сонаправлены. Вектор скорости , направлен по касательной к траектории тела. Поэтому в точке 1 вектор , горизонтален, а в точке 2 вектор вертикален. Построим разность векторов и (рис. З 1.2). Тик как , то по теореме Пифагора

кг*м/с

.

кг*м/с

Ответ: модуль изменения импульса тела .

Задача 1.4

Вектор скорости тела меняется со временем по закону , м/с, где t - время, а , , — орты координатных осей. Найти зависимость модуля скорости от времени v (t).

Дано: , м/с.

Найти: v (t).

Решение. В данной задаче вектор выражен через проекции на координатные оси и орты , , координатных осей (см. с. 16). Сомножители при ортах , , - это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ, соответственно. Таким образом, = 6 t м/с, = 4м/с, = -12 м/с. Тогда модуль вектора скорости

, м/с.

Ответ: зависимость модуля скорости от времени ,м/с.

Задача 1.5

Найти угол αмежду силой , Н, действующей на тело, и осью ОХ в момент времени t = 1с.

Дано: ,H; t = 1 с.

Найти:α.

Решение. Найдем длину вектора . Как и в предыдущей задаче, запишем компоненты вектора :

F_x= 4 Н, F_y = 7tН, F_Z= 2t Н.

Используя формулу (1.11), получаем

.

В данную формулу подставим значение времени t = 1 с:

, .

Ответ: между силой и осью ОX угол .

Дата добавления: 2014-11-29