Производные сложных функций

Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы дифференцирования позволяют находить производные от функций тольков самых простых случаях. Знания этих правил и формул недостаточно для дифференцирования функций более сложного вида, таких, например, как или . В подобных случаяхпользуются более общими формулами дифференцирования, основаннымина теореме о производной функции от функции.

Пусть у есть функция от и: у =f (и), где и, в свою очередь функция отаргумента х: и = φ (х); в таком случае говорят, что у есть функция отфункции. Очевидно, можно записать у = f (φ (x)). Если существуют и производные = (u) и = φ '(х), то существует и производная от y по х, причем имеет место равенство

. (1.40)

Индексы указывают, по какой переменной производится дифференцирование. Покажем, как пользоваться формулой (1.40).

Задача 1.14

Найти y ', если _ у = (х ²+5 х + 7)⁸.

Полагая u = х ²+ 5 х +7, имеем y= u ⁸.

По формуле(3) y ' = 8 u ⁷(2 х +5), илиокончательно

y '= 8(х ² + 5 х +7)⁷ (2 х +5).

Задача 1.15

Найти y ', если у = ln(х ³ +7 х + 2).

Принимая в данном случае за и = х ³ +7 х + 2 и пользуясь формулой (10), получаем

.

Многие физические величины определяются как производные по времени от других физических величин. Например, скорость — первая производная радиус-вектора по времениt. Обозначается это следующим образом:

или . (1.41)

Ускорение - первая производная скорости по времени t

или . (1.42)

Дата добавления: 2014-11-29