Производная функции

Дифференцируемость функции. Дифференциал.

Дифференциальное исчисление

Цель этого раздела — исследование поведения функции у = у (х) в окрестности точки х.

Функция у = у (х) называется дифференцируемой в точке х, если при пращение функции у можно представить в виде

у = А х + о ( х), (1.24)

где А не зависит от х, но при этом зависит от х, а о( х) - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем у, т. е. .

Главная, линейная по х, часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке х и обозначается

dy = А х. (1.25)

Найдем А, учитывая, что А не должно зависеть от х; при этом пусть приращение х стремится к нулю.

;(1.26)

; (1.27)

. (1.28)

Производной функции у у (х) в точке х называется предел отношении приращения функции у к приращению аргумента х при

стремлении последнего к нулю (при условии, что он существует). Принято обозначать

(1.29)

Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование производной у'(х). При этом

dy= y' dx. (1.30)

Поэтому процесс нахождения производной также называют дифференцированием.

Дата добавления: 2014-11-29