Примеры решения задач. Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по закону, м

Задача 1.16

Радиус-вектор материальной точки меняется со временем по закону , м. Найти: 1) зависимость скорости точкиот времени (t), 2) зависимость модуля скорости от времени (t), 3) зависимость ускорения точки от времени (t), 4) зависимость модуля ускорения от времени а (t), 5) значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от начала движения.

Дано: , м; t = 1с.

Найти: (t),v(t), (t),a(t),v, а.

Решение. 1. Скорость — первая производная радиус-вектора по времени. Поэтому для нахождения зависимости (t) достаточно продифференцировать по времени заданную зависимость :

, м/с. (1)

2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент вектора. Для модуля скорости

.

Из уравнения(1) имеем v_x = 4 t м/с, v_y = 3 м/с, v_z = 0 м/с.

Получаем

, м/с (2)

3.Так как ускорением является первая производная скорости по времени, то для получения зависимости от t необходимо продифференцировать по времени полученную выше зависимость выражение (1). Тогда

= , м/с². (3)

4. Модуль ускорения определяется соотношением . Как видно из зависимости (3), а_х = 4 м/с², а_у = 0 м/с², а_z = 0 м/с². Поэтому

= 4 м/с². (4)

5. Значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от начала движения легко получить, подставив значение времени t = 1 с в выражения (2) и (4). Тогда v (1) = 5 м/с, а (1) = 4 м/с².

Ответ: зависимость скорости точки от времени = , м/с;

зависимость модуля скорости от времени , м/с;

зависимость ускорения точки от времени , м/с²;

зависимость модуля ускорения от времени a(t) = 4 м/с²;

значения скорости и ускорения в момент времени t = 1 с от начала движения: v (1) = 5 м/с, а (1) = 4 м/с².

Дата добавления: 2014-11-29