Определенный интеграл. Определенным интегралом функции у =f(x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале [а, b](при этом может быть а < b

Определенным интегралом функции у =f(x) в пределах от а до b, заданной в замкнутом интервале [ а, b ](при этом может быть а < b, (случай А) или а > b (случай Б)), называется число, получаемое следующим образом:

1) интервал [ а, b ]разбивается на п «элементарных интервалов»; произвольными числами x ₁, x ₂, … x_{n -1} выбранными так, что

а = x ₀ < x ₁< x ₂ <... < x_i <...< x_{n -1}< x_n = b

или

а = x ₀ > x ₁> x ₂ >... > x_i >...> x_{n -1}> x_n = b.

2) внутри (или на границе) каждого элементарного интервала [ x_{i- 1}, x_i ] выбирается произвольно одно число ξ ₁ (рис. 1.22):

x_{i- 1} ≤ ξ ₁ ≤ x_i или x_{i- 1} ≥ ξ ₁ ≥ x_i;

или

Рис. 1.22

3) значения f (ξ ₁) функции у = f (х) в этих выбранных точках умножаются на соответствующие разности ∆ x_{i- 1} = x_i- - x_{i- 1} (длины элементарных интервалов [ x_{i- 1}, x_i- ], взятые со знаками «+» или знаками «-»);

4) все полученные п произведений f (ξ ₁) ∆ x_{i- 1} складываются;

5 ) вычисляется предел полученной суммы , когдадлина каждого элементарного интервала ∆ x_{i- 1}, стремится к нулю (и, следовательно, n ).

Если этот предел существует и не зависит от выбора чисел ∆ x_{i- 1} и ξ ₁, то он называется определенным интегралом

(1.45)

Символ называется знаком интеграла, число а — нижним пределом, числоb — верхним пределом, функция f (х) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, буква x переменной интегрирования. Значение интеграла зависит только от вида функции f (х) и от пределов а и b, но не зависит от переменной интегрирования, которая может быть обозначена любой буквой. Так = = и т.п.

Дата добавления: 2014-11-29