Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

а ₀ у"+а ₁ у'+ а ₂ у = 0,

где a ₀, а ₁ ,а ₂- постоянные, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если функции у ₁(x)и у ₂(x) - частные решения уравнения (1.71) причем их отношение не является числом, то выражение

, (1.72)

где C ₁ и C ₂— постоянные, а у₁ (х)и у₂ (х) - частные решения, есть общее решение этого уравнения.

Для определения вида частных решений у ₁(х)и у ₂(х)следует решить характеристическое уравнение

а ₀ k²+ а ₁ k+ а ₂= 0. (1.73)

При решении квадратного уравнения (1.73) возможны три случая, представленные в таблице

Таблица 3. Решения дифференциальных уравнений

Корни уравнения (4.20)	Частные решения	Общее решение
Действительные различные k1 и k2
Действительные равные k1 = k2
Комплексно сопряженные и

Если заданы начальные условия у (0)= у ₀₁и у (0) = у ₀₂, то можно найти постоянные С ₁и С₂ и, подставляя их в (1.73), получить частное решение уравнения (1.71).

Дата добавления: 2014-11-29