Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Примеры решения задач. Тело движется прямолинейно со скоростью v, пропорциональной квадрату времени t




Задача 1.19

Тело движется прямолинейно со скоростью v, пропорциональной квадрату времени t. Установить зависимость между пройденным путем S и временем t, если известно, что в начальный момент времени (при t = 0) пройденный телом путь S (0) = S0.

Дано: v ~ t 2; S (0) = S 0.

Найти: S (t).

Решение. Поусловию задачи

v ~ t 2. (1)

Чтобы вместо знака пропорциональности «~» поставить знак равенства,введем коэффициент k. Тогда

v=kt 2. (2)

По определению скорость v — первая производная пути S по времени t, т. е. путь S, время t и скорость v связаны дифференциальным уравнением

. (3)

Приравняем правые части выражений (2) и (3). Получим

= kt2. (4)

Соотношение (4) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

dS = kt2dt. (5)

Проинтегрировав обе части равенства (5), получим общее решение дифференциального уравнения (4)

∫dS = ∫kt2dt S (t) = ∫kt2dt = + C. (6)

В начальный момент времени S = S 0, поэтому, подставив в общее решение (6) значения времени t = 0 и пути S = S 0, найдем значение постоянной интегрирования С

S (0) = S 0 = 0 + С. (7)

Тогда С = S0. Найденное значение С подставим в общее решение (6) и получим частное решение

S (t) = + S 0. (8)

Ответ: зависимость пройденного телом пути от времени имеет вид

S (t) = + S 0.

Задача 1.20

Найти общее решение дифференциального уравнения

2у" + 5у' + 2у = 0. (1)

Решение. Заданное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение

2k2 + 5k + 2 = 0. (2)

Найдем корни уравнения (2)

.

Тогда k1= - 2 и k2 = -0,5. Так как корни действительные различные, тогда частные решения уравнения (1) имеют вид у 1 = и у 2 = , и общее решение уравнения (1) запишется как

у = C 1 + C 2 .

Ответ: у = C 1 + C 2 .

 

 

Задача 1.21

Найти частное решение дифференциального уравнения

у"-2у' + у = 0, (1)

удовлетворяющее начальным условиям у( 0 ) = 4, у'( 0 ) = 2.

Решение. Данное уравнение — линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение и найдем его корни

k 2-2 k +1 = 0, (k - 1)2 = 0, (k - 1) = 0, k 12= 1.

Так как корни действительные, согласно таблице 3, то частные решения данного уравнения имеют вид у 1 х и у 2 = хех, а общее решение уравнения (1) запишется как

у=С 1 ех 2 хех = ех (С 1 + С 2 х). (2)

Найдем у', дифференцируя по х выражение (2):

у' = (ех (С 1 + С 2 х)) ' = (ех)' (С 1+ С 2 х) + ех (С 1+ С 2 х) ' =

= ех (С 1+ С 2 х)+ ех (0 + С 2) =

= ех (С 1 + С 2 х+ С 2).

(при нахождении производной пользовались формулами (3) и (8) из таблицы производных с. 33—34 и правилом дифференцирования произведения двух функций — формулой (2.15) с. 34)

Итак,

y'= ех (С 1 + C 2 x+C 2). (3)

Для определения частного решения уравнения (1) в равенства (2) и (3) подставим начальные условия:

у (0) = С 1 е 0 + С 2 0 е 0=4, (2*)

y' (0) = е0 1 + C 2 0 + C 2) = 2. (3*)

Получим систему двух уравнений

из которой определяем постоянные С 1 = 4 и = -2.

Подставив эти значения в общее решение (2) уравнения (1), найдем частное решение уравнения (1):

у = 4 ех - 2 хех. (4)

Ответ: у = 4 ех - 2 хех.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1897; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.