Линейной регрессии по несгруппированным данным

Отыскание параметров выборочного уравнения

Пусть имеются две случайные величины Х и Y и проводится их измерение.

Предположим, что каждая пара значений (Х, Y) наблюдалось по одному разу.

В результате n независимых опытов получено n пар чисел:

(, ), (, ), …, (, ).

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии Y на Х (для определенности) в виде:

= kx + b. (1)

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента k обозначим через , а оценку b – через , т.е.

= + . (2)

– выборочный коэффициент регрессии Y на Х.

Подберем параметры и так, чтобы точки (, ), (, ), …, (, ), построенные по данным наблюдений, на плоскости лежали как можно ближе к прямой (2).

Обозначим через значение величины Y, соответствующее значению , а через – значение , которое можно получить из выражения (2) при Х = .

Подберем параметры и так, чтобы сумма квадратов отклонений ( - ) была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов).

Возьмем разности ( - , возведем их в квадрат и просуммируем. Получим функцию:

f( , ) = = .

Приравнивая и к нулю, получаем два уравнения для определения и :

После элементарных преобразований эти уравнения приводятся к виду:

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y:

= у + ,

где

– выборочный коэффициент регрессии Х на Y.

Это можно записать проще, используя обозначения:

= ,

=

= ,

= ,

= .

Тогда неизвестные параметры выборочного уравнения линейной регрессии Y на Х вычисляются по формулам:

= ,

=

Аналогично вычисляются параметры выборочного уравнения линейной регрессии Х на Y:

= ,

= .

Дата добавления: 2014-12-27