Линейной регрессии по сгруппированным данным

Пусть получено большое число данных (для удовлетворительной оценки искомых параметров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы.

Возьмём систему уравнений, полученную для определения параметров уравнения прямой линии регрессии Y на X:

(1)

Запишем систему (1) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы:

, , ,

(учтено, что пара чисел (x, y) наблюдались раз).

Тогда, сократив на n, получим:

(2)

Решив эту систему, найдём параметры , тогда искомое уравнение линейной регрессии имеет вид:

(3)

Однако, более целесообразно, введя выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение линейной регрессии в ином виде.

Из второго уравнения системы (2) следует Подставим это в уравнение в (3):

(4)

Найдём из системы (1) коэффициент регрессии, учитывая что :

(5)

Умножим обе части равенства (5) на дробь :

,

,

.

Подставим найденный коэффициент в формулу (3) и получим выборочное уравнение линейной регрессии Y на X:

.

Аналогично находят выборочное уравнение линейной регрессии X на Y:

= ,

где

Следует заметить, что является оценкой коэффициента корреляции:

Действительно, используя метод моментов, т.е. заменив числовые характеристики их оценками, получим:

Дата добавления: 2014-12-27