Построение разверток поверхностей геометрических тел

Плоская фигура, которая получается, если поверхность тела разрезать по некоторой линии и совместить с плоскостью, называется разверткой поверхности данного тела.

Рис. 51.

Развертка многогранника получается последовательным совмещением с плоскостью всех его граней.

На рисунке 51 изображена прямая треугольная призма АВСА₁В₁С₁. Разрежем поверхность призмы по ребрам АА_1, АВ, АС, А₁В₁ и А₁С₁ и совместим основания призмы и боковые грани АВВ₁А₁ и САА₁С₁ с плоскостью грани ВСС₁В₁. Полученная фигура А₁В₁А₁С₁А₁АСАВА будет разверткой призмы.

На рисунке 52 показано построение развертки правильной прямой треугольной пирамиды SABC. Поверхность пирамиды разрезана по ребрам SA; CA; BC. Основание и боковые грани SAC и SBC совмещены с гранью SAB. Полученная плоская фигура SCACBC будет разверткой треугольной пирамиды. Боковые грани пирамиды – треугольники построены на развертке способом засечек.

Рис. 52.

Действительные размеры боковых ребер пирамиды определены способом вращения. Так, например, ребро SC повернуто вокруг оси, перпендикулярной к плоскости H и проходящей через вершину S, до положения SC₁. В этом положении ребро будет параллельно плоскости V и фронтальная проекция sʹcʹ₁ равна действительным размерам ребра. Стороны основания пирамиды проецируются в действительную величину на плоскость H.

Поверхности криволинейных геометрических тел подразделяются на развертывающиеся, которые можно, разрезав по образующей, совместить с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся.

Рис. 53.

К развертывающимся относятся, например, поверхности цилиндра и конуса. Примерами неразвертывающихся поверхностей могут служить поверхности шара и тора. Развертки этих поверхностей строят приближенно.

На рисунке 53 показано построение развертки прямого кругового цилиндра. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания πD, а другая – высоте цилиндра Н.

Рис. 54.

На рисунке 54 показано построение развертки прямого кругового конуса. Боковая поверхность конуса развертывается в круговой сектор. Радиус сектора равен длине образующей конуса L. Угол δ при вершине сектора можно подсчитать по формуле δ = 180°D/L, где D – диаметр основания конуса.

Чтобы на развертке построить какую-либо точку, принадлежащую развертываемой поверхности тела, необходимо предварительно через заданную точку по поверхности провести линию. Затем эту линию нанести на развертку и на ней отметить заданную точку.

На грани призмы АВВ₁А₁ лежит точка К (рис. 51). Прямая, проведенная через эту точку параллельно призмы, пересекает сторону основания АВ в точке 1.

Отмечают точку 1 на развертке. Для этого от точки В в сторону точки А откладывают отрезок b1 длиной l. Через точку 1 параллельно ребрам призмы проводят прямую, на которой на расстоянии l₁ от точки 1 отмечают заданную точку К.

На развертке пирамиды (рис. 52) аналогичная задача решена с помощью прямой S1, проходящей через вершину пирамиды. Следует отметить, что отрезок 1К проецируется на плоскость проекции с искажением. Действительная длина l₁ этого отрезка определена способом вращения.

Положение точки К на развертке цилиндра (рис.53) найдено с помощью образующей, проведенной по поверхности цилиндра через точку 1. Отрезок прямой А1 = l на развертке равен длине дуги а1 окружности основания цилиндра.

Положение точки К на развертке боковой поверхности конуса (рис. 54) найдено с помощью образующей S1, проведенной по поверхности конуса через точку К. Эта образующая проходит через точку 1, отстоящую на расстоянии l от точки А, измеренном вдоль дуги окружности основания. Действительная длина l₁ отрезка 1К определена способом вращения: образующая S1 повернута вокруг оси конуса до совмещения с образующей SA, которая параллельна плоскости V и проецируется на фронтальную плоскость проекции без искажения.

Рассмотренные задачи имеют важное значение, так как в техническом черчении часто приходится прибегать к построению разверток с нанесением на них различных кривых линий, которые строят по отдельным точкам.

Дата добавления: 2014-12-27