Случайная величина, у которой множество значений заполняет некоторый сплошной промежуток, называется непрерывной случайной величиной

! Примеры: Рост людей (средний рост в РФ 170 см), вес выловленных в пруду рыб непрерывные случайные величины.

Для непрерывной случайной величины X вероятность P(X = x) ® 0, так как число всевозможных исходов случайной величины бесконечно велико. В связи с этим для непрерывной случайной величины удобнее использовать вероятность того, что случайная величина X < x, где x – текущее значение переменной. Это вероятность называется интегральной функцией распределения: P(X < x) = F(x).

Свойства F(x)

1. Интегральная функция распределения F(x) -неубывающая функция.

2. F(– ¥) = 0.

3. F(+ ¥) = 1.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал a < x < b определяется по формуле: P(a < x < b) = F(b) – F(a).

Плотность вероятности

Плотность вероятности f(x) (или дифференциальная функция) определяется как производная интегральной функции F(x): f(x) = F¢(x).

1. Плотность вероятности строго неотрицательная величина: f(x) ³ 0.

2. Интеграл плотности вероятности по всем значениям случайной величины равен 1: .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется как .

Дисперсия определяется с помощью математических ожиданий точно так же.

Известные типы распределения непрерывных случайных величин – это равномерный, показательный и нормальный законы распределения.

Равномерный закон распределения

Случайная величина распределена по равномерному (прямоугольному) закону распределения, если все значения случайной величины лежат внутри некоторого интервала и все они равновероятны:

.

Интегральная функция равномерного закона распределения в интервале (a, b):

.

Математической ожидание M(X) = (b + a)/2, а дисперсия D(X) = (b – a) ² /12.

@ Задача 1: Равномерно распределенная случайная величина X задана в интервале (a – 4; a + 4). Найти M(X), D(X), σ(X).

Решение: M(X) = (b + a)/2 = (a + 4 + a – 4)/2 = a; D(X) = (b – a) ² /12 = (a + 4 – a + 4)/12 = 64/12 = 16/3; σ(X)» 2,3.

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение, если ее плотность распределения имеет вид

,

где λ = const, λ > 0.

Интегральная функция показательного закона распределения имеет вид:

.

Математическое ожидание M(x) = 1/λ, а дисперсия D(x) = 1/λ².

Показательное распределение играет большую роль в теории массового обслуживания, теории надежности. В теории массового обслуживания параметр λ – среднее число событий за единицу времени. Длина промежутка t, между произвольными двумя соседними событиями, подчиняется показательному закону: P(T < t) = F(t) = 1 – .

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого является то, что он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.

Если представляется возможным рассматривать случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других и не должна иметь исключительно большую дисперсию по сравнению с другими дисперсиями.

Пример. Отклонения размеров изготовленных деталей от стандарта.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если плотность распределения вероятности имеет вид

,

где a и σ параметры распределения.

Математическое ожидание M(x) = a характеризует центр распределения, а дисперсия D (x) = σ² - форму распределения.

Вероятность попадания нормального распределенной случайной величины в заданный интервал определяется следующим образом:

,

где называется функцией Лапласа.

Функция Лапласа Ф(x) – нечетная функция. Значения функции Лапласа можно найти в соответствующей таблице (приложение 1).

Если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратичное отклонение 3σ (правило 3σ, вероятность Р = 0,997, т.е. она приблизительно равна 1). На этом правиле основана оценка σ. Из полученных данных наблюдения случайной величины выбирают максимальное и минимальное значения и их разность делят на 6.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине составляет 2σ, равна 0,954, а вероятность того, что это отклонение составляет σ, равна 0,683.

@ Задача 2: Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратичным отклонением 150г и математическим ожиданием а = 1000г. Найти вероятность того, что вес пойманной рыбы будет: а) от 900 до 1300г; б) не более 1500г; в) не менее 800г; г) отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200г.

Решение:

а) P (900 < x < 1300) = Ф(2) – Ф(– 0,67) = 0,48 + 0,25 = 0,73;

б) P (0 < x < 1500) = Ф(3,3) – Ф(– 6,6) = 0,4996 + 0,4999 = 0,9995;

в) P (800 < x < ¥) = Ф(¥) – Ф(– 1,33) = 0,5 + 0,41 = 0,91;

г) P (800 < x < 1200) = Ф(1,33) – Ф(– 1,33) = 0,41 + 0,41 = 0,82.

Дата добавления: 2014-12-27