Постановка задачи. Нестационарный процесс распределения температур в одномерном стержне с теплообменом с окружающей средой

Нестационарный процесс распределения температур в одномерном стержне с теплообменом с окружающей средой

Рассмотрим одномерный стержневой элемент, с теплообменом с окружающей средой. Поперечное сечение стержня мало, поэтому можно пренебречь изменением температуры по его сечению. В этом случае, температурное поле стержня является одномерным и изменяется только по оси x, направленной по длине стержня.

Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах стержня происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные:

· материал стержня – сталь;

· температура среды и коэффициент теплоотдачи со стороны левой границы стержня равны: Та1=100 ⁰С и α1=4000 Вт/м^{2 0}С, со стороны правой – Та2=20⁰С и α2=500 Вт/м^{2 0}С; температура у боковой поверхности Т_а=400⁰С;

· длина стержня L = 0,09 м;

· коэффициент теплопроводности материала стержня λ = 50 Вт/м ⁰С;

· площадь поперечного сечения A = 3,14∙10^-4 м²;

· плотность стали ρ = 7800 кг/м³;

· теплоемкость с=460 Дж/кг⁰С;

· расстояние h между узлами равно 0,01 м.

Решение задачи

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.4.9. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.4.9 от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).

Рисунок 4.9. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности (А) и его тепловая схема (Б)

Составим матрицу инциденции A

Матрица проводимостей G имеет размерность 21*21, является диагональной:

Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:

,

где A – площадь сечения стержня, м²;

ρ – плотность стали, кг/м³;

с – теплоемкость стали;

h – расстояние между границами объема, м.

Строим матрицу C:

Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:

Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы имеет вид:

Уравнение (3.53) является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.

Примем начальные температуры в узлах равными 0 ⁰С, т.е.

Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения

где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна

;

с начальным условием

T(0)=T₀,

Для решения нестационарного матричного уравнения с начальным условием используем явный метод Эйлера. явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:

T_m+1=(E - c^-1M)T_m+ c^-1F (4.1)

где m – номер итерации;

τ – шаг по времени;

E – диагональная единичная матрица;

Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна

В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры T_m в следующий момент времени t_m находится пересчетом по формуле (3.56) на основании известного значения температуры T_m-1 в предыдущий момент времени t_m-1.

Зададим дополнительные условия для решения задачи:

1) шаг по времени τ = 2;

2) максимальное время M = 100 с.;

3) условие m…M;

Подставив все известные величины в уравнение (3.56), найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:

Рисунок 4.8. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.

Дата добавления: 2014-12-27