Прямое произведение множеств

Разбиения и покрытия множеств

Пусть дано множество А. А ={A₁, A₂, A₃, … A_n}- множество подмножеств А (семейство подмножеств).

Определение. А называется покрытием множества A, если

1. A_i А (A_i A, A_i≠Ø); 2. A= .

Определение. А называется разбиением множества А, если

1. A_i А (A_i A, A_i≠Ø); 2. A= ; 3. A_i, A_j А [A_i ≠ A_j А _i А_j = Ø].

Пример 1.1.3 - А={1,2,3}. А₁= {{1,2},{2,3},{1,3}} – покрытие;

А₂= {{1},{2},{3}} – разбиение; А₃= {{1},{2,3}} – разбиение;

А₄= {{1},{3}} – множество подмножеств множества А (ни булеан, ни

покрытие, ни разбиение).

Пример 1.1.4. - N– множество натуральных чисел.

N_0, N₁ - множества чётных и нечётных чисел. N ={ N_0, N₁}- разбиение N.

Упорядоченную последовательность из элементов x₁,x₂,…,x_n будем обозначать (x₁,x₂,…,x_n) или <x₁,x₂,…,x_n> и называть кортеж длины n,

упорядоченный набор из n элементов, вектор длины n, n-ка (энка). x_i – i-ая координата или компонента. Если n=2, то (x₁,x₂) – пара, упорядоченная двойка; n=3 - (x₁,x₂,x₃) – тройка, упорядоченная тройка; n=0 - < > - кортеж, не содержащий элементов.

Если =(x₁,…x_n), =(y₁,…y_n), то . Ясно, что (1,2) ≠ (2,1), {1,2}={2,1}.

Определение. Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (обозначается А×В) называется множество таких пар (a,b), что a A и b В:

А×В = {(a,b)| a A и b В}.

Обобщение прямого произведения: A₁×A₂×…×A_n={(a₁,a₂,…,a_n)| a₁ A₁, a₂ A₂,…, a_n A_n}. Если A=B, то A×A=A² ; A×A×…×A=Aⁿ; A¹=A; A⁰={Ø}.

n

Пример 1.1.5 - A={1,2}, B={1,2,3}.

A×B ={(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3)};

B×A = {(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3;1),(3;2)}; A×B ≠ B×A;

A² = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)};

Пример 1.1.6 - R×R = R² = {(a,b)|a,b R, (a,b) – точки плоскости}.

Дата добавления: 2014-12-27