Средняя арифметическая простая

,

где åХ_i – сумма вариантов признака,

n – число единиц, обладающих данным признаком.

Нужно помнить, что средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда известна величина признака Х_i и частота его проявления у каждой единицы совокупности f_i (в зависимости от условия частота может быть заменена на частность). Например, рассчитаем средний уровень заработной платы по данным о заработной плате по каждому отделу и численности работников каждого отдела. Используем формулу средней арифметической взвешенной

’

где – средняя заработная плата на предприятии;

Х _i – уровень заработной платы по каждому отделу;

f _i – численность работников в каждом отделе;

X _i f _i – фонд заработной платы по каждому отделу.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда известна величина признака (Х_i) и величина объема варьирующегося признака (X_if_i) для каждой единицы совокупности, а значения частот (f_i) неизвестны.

Например, если в условии задачи даны показатели уровня заработной платы и фонда заработной платы по каждому отделу, то средний уровень заработной платы будет исчисляться по формуле средней гармонической взвешенной

å W _i

= ————,

å W _i / X _i

где Х _i – уровень заработной платы каждого работника;

W _i – фонд заработной платы по каждому работнику (Х _i • f _i = W _i).

Аналогичен подход к расчету других средних показателей: цены, затрат времени, процента выполнения плана, товарооборота и т.д.

Необходимо дать анализ полученным средним и итоговым показателям и сформулировать вывод.

Структурные средние величины.

Мода (М_о) – величина признака, которая встречается в изучаемом ряду чаще всего.

Медиана (М_е) – величина признака, находящаяся в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

Для интервальных рядов распределения мода определяется по формуле

f _мо – f_{м0 -1}

М_о = Х_мо + h _мо ————————————,

(f_мо – f_мо-1) + (f_мо – f_мо+1)

где Х_мо – начальное значение интервала, содержащего моду;

h _мо – величина модального интервала;

f_мо – частота модального интервала;

f_мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана в интервальном ряду находится следующим образом:

0,5 • åf – åf_{ме -1}

М_е = Х _ме + h _ме ———————

f_ме

Х _ме – начальное значение интервала, содержащего медиану;

h _ме – величина медианного интервала;

åf – сумма частот ряда (численность ряда);

S f_ме-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_ме – частота медианного интервала.

Кроме Mo и Me ввариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения. Квантиль – это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности. Различают следующие виды квантилей:

• квартили (Q1/4,Q2/4 =Me,Q_3/4 — значения признака, делящие
упорядоченную совокупность на 4 равные части;

• децили (d₁,d₂....d₉ — значения признака, делящие
совокупность на 10 равных частей;

• перцентели – значения признака, делящие совокупность на
100 равных частей.

Если данные сгруппированы, то значение квартиля определяется по накопленным частотам: номер группы, которая содержит i -й квантиль. Определяется как номер первой группы от начала ряда, в котором сумма накопленных частот равна или превышает i ·N, где i – индекс квантиля.

Система показателей, с помощью которой вариация измеряется, характеризуют ее свойства.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации R как разницы между максимальным и минимальным значениями признака:

R = X _max – X_min.

Более строгими характеристиками являются показатели относительно среднего уровня признака. При вычислении показателей вариации необходимо учесть, что если средние показатели были вычислены по формулам арифметической или гармонической взвешенных, то и отклонения от средней также должны вычисляться по формулам взвешенного линейного отклонения, взвешенного квадрата отклонений, взвешенного среднего квадратического отклонения. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение как среднее арифметическое значение абсолютных значений отклонений п р изнака от его среднего уровня:

å | X i – | = —————; n

å | X i – | f = —————. åf

Показатель среднего линейного отклонения широко применяется на практике. С его помощью анализируются ритмичность производства, состав работающих, равномерность поставок материалов. Однако в статистике наиболее часто для измерения вариации используют показатель дисперсии – средней арифметической квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

å(Хi – )^2 s^2= ¾¾¾¾, n

å(Хi – )^2f s^2= ¾¾¾¾–. åf

Дисперсию можно определить и как разность между средним квадратом вариантов признака и квадратом их средней величины:

s^2= ^2 – ()^2,

åX^2f s^2= ——— – ()^2. åf

Показатель s, равный Ös², называется средним квадратическим отклонением. Рассмотренные показатели не всегда пригодны для сравнительного анализа вариации нескольких совокупностей в силу различия абсолютных величин. Для характеристики степени однородности совокупности, типичности, устойчивости средней, а также для других статистических оценок применяется коэффициент вариации, являющийся относительной величиной, выраженной в процентах.

s

n = –– • 100%.

Как относительная величина коэффициент вариации абстрагирует различия абсолютных величин и дает возможность сравнивать степень вариации разных признаков, разных совокупностей. Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее типична средняя, тем менее она характеризует изучаемое явление.

Решение задачи 3 должно способствовать закреплению навыков расчета показателей, характеризующих сущность выборочного наблюдения и определения ошибок выборки, а также расчета необходимой численности выборки.

Показатель представительности выборки следует рассчитывать как отношение выборочной характеристики к соответствующей характеристике генеральной совокупности, например для средней. Если показатели выборки незначительно отличаются от показателей генеральной совокупности (обычно в пределах ± 5%), значит, выборка отражает распределение генеральной совокупности. Рассчитанные по выборке значение параметра и его предельная ошибка позволят установить пределы, в которых будет заключено значение параметра в генеральной совокупности, при этом выводы гарантируются с определенной вероятностью. Например, генеральная совокупность будет иметь границы

– t m_x £ £ + t m_x.

При случайном простом отборе предельная ошибка выборочной средней

Предельная ошибка для выборочной доли

Предельная ошибка случайной бесповторной выборки определяется по аналогичным формулам с появлением сомножителя, который уменьшает величину ошибок:

а) предельная ошибка для средней:

б) предельная ошибка для доли:

.

Чаще всего доверительную вероятность устанавливают равной 0,954 или 0,997 (величины коэффициентов доверия t равны соответственно 2 и 3).

Вероятность, которая принимается при расчете ошибки выборочной характеристики, называют доверительной. Чаще всего принимают доверительную вероятность равной 0,95; 0,954; 0,997 или даже 0,999. Доверительный уровень вероятности 0,954 означает, что только в 6 случаях из 1000 ошибка может выйти за установленные границы.

Задача 4 составлена на вычисление и усвоение аналитических показателей анализа динамических рядов.

Для выражения изменений уровней ряда динамики в абсолютных величинах вычисляется показатель абсолютного прироста DY. Он показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, то есть за определенный период времени. Абсолютный прирост определяется как разность между уровнем изучаемого периода Y_i и уровнем, принимаемым за базу сравнения:

DY = Y_i – Y_б .

Абсолютные приросты могут быть цепными и базисными. При определении цепных абсолютных приростов DY^u за базу сравнения принимается уровень предыдущего периода Y_i–1, и расчет абсолютных приростов производится по формуле

DY^ц = Y_i –Y_{i – 1}.

При определении базисных абсолютных приростов DY^б за базу сравнения принимается постоянный уровень.

D Y^б = Y_i –Y_б .

Для суждения о среднем изменении абсолютных DY^ц приростов вычисляется средний абсолютный прирост . Он может быть вычислен по цепным абсолютным приростам, базисным абсолютным приростам или уровнем ряда:

SDY ^ц

D = ———, m = n – 1,

m

где m – число интервалов в ряду динамики;

DY ^б_n Y_n – Y_б

D = ——, или D = ———,

m m

Относительными показателями динамики являются коэффициенты роста К и коэффициенты прироста DК.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным или предыдущим уровнем. Он определяется как отношение уровня изучаемого периода к уровню, принятому за базу сравнения:

Y_i

К = –––.

Y_б

Темп роста вычисляется в процентах и представляет собой произведение коэффициента роста на 100%, все преобразования коэффициентов роста сохраняются и для темпов роста.

При вычислении цепных коэффициентов роста за базу сравнения принимается уровень предыдущего периода:

Y_i

К ^ц = –––––.

Y_{i– 1}

При вычислении базисных коэффициентов роста за базу сравнения принимают постоянный уровень (как правило, уровень самого раннего периода).

Y_i

К ^б = –––.

Y_б

Между цепными и базисными коэффициентами роста существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь соответствующий период:

ПК ^ц = К^б,где П – знак произведения.

Соблюдается связь (через коэффициенты).

Для определения среднегодового коэффициента роста используется формула средней геометрической:

где ПК^ц – произведение цепных темпов роста в коэффициентах;

m – число цепных темпов роста (n – 1).

Если при определении темпов прироста DК предварительно были исчислены темпы роста Тр, то темпы прироста можно рассчитать по формуле:

DК = К – 1 или DТпр % = Тр% – 100%.

Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, имеющая место между обычными темпами роста и прироста:

D = – 1 и D = – 100%.

Показатель абсолютного значения одного процента прироста А% определяется как отношение в каждом периоде абсолютного прироста DY ^ц к темпу прироста DК^{ц .} Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе:

А% = DY ^ц / DК ^ц %.

При разных уровнях явления абсолютное значение 1% является разной величиной.

Аналитическое выравнивание ряда состоит в отыскании аналитической формулы кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию изменения уровней в течение периода. Уравнение, выражающее уровни ряда динамики в виде некоторой функции времени, называют трендом.

Аналитическое выравнивание ряда динамики позволяет выявить более четким направление основной тенденции.

Рассмотрим технику выравнивания ряда по уравнению прямой. Параметры а₀ и а₁ искомой прямой определяются по методу наименьших квадратов. Составляется система нормальных уравнений:

где t – порядковый номер интервала или момента времени.

Расчет параметров а₀ и а₁ упрощается, если за начало отсчета

t = 0 принять центральный интервал или момент. Тогда åt = 0, и система уравнений примет следующий вид:

	åY	åYt
Отсюда	а0 = ——–;	а1 = ——.
	n	åt^2

Аналитическое выравнивание ряда динамики позволяет выявить более четким направление основной тенденции.

Для расчета параметров уравнения и проверки надежности уравнения необходимо построить вспомогательную таблицу:

Дата добавления: 2014-12-23