Решение. Так как А1 ≤ А ≤ А2, а с другой стороны а – Δ ≤ А ≤ а + Δ, то можно положить

Решение.

Так как А₁ ≤ А ≤ А₂, а с другой стороны а – Δ ≤ А ≤ а + Δ, то можно положить . Следовательно, Δ = а – А₁ или Δ = А₂ – а. А так как а = , то Δ = - А₁ = .

Ответ. Δ = .

Пример 2. Найти предельную абсолютную погрешность приближенного значения а = 3,145 числа π.

Известно, что 3,14 < π < 3,15. По условиям задачи приближенное значение а числа π равно 3,145, т.е. а = 3,145. Так как 3,145 = , то предельная абсолютная погрешность равна:

Значит π ≈ 3,145 с точностью до 0,005.

Ответ. π ≈ 3,145 с точностью до 0,005.

Однако абсолютная погрешность не может дать достаточно полного представления о точности вычисления, поскольку она выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина, поэтому ее значение будет меняться, когда изменяются единицы, с помощью которых мы измеряем рассматриваемую величину.

Например, если измерять расстояние между городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то абсолютная погрешность будет равна измеряемой величины (точное измерение), а если же с точностью до 1 м измерена длина участка земли, которая равна 10 м, то абсолютная погрешность будет равна измеряемой величины.

Поэтому для характеристики точности приближенных вычислений вводят понятие относительной погрешности числа а, являющегося приближенным значением величины А, которая обозначается δ_а и определяется как отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению числа а, т.е.

Рассмотрим число δ наименьшее из чисел, удовлетворяющих условию δ_а ≤ δ или исходя из формулы (5) ≤ δ,(6)

или | A – a | ≤ δ | a |. (7)

Из неравенства (7) получаем, что

а – δ|a| ≤ A ≤ a + δ|a|.

Число δ, удовлетворяющее условиям (6) и (7) называется предельной относительной погрешностью.

В отличие от абсолютной, относительная погрешность является величиной безразмерной, которая выражается в процентах.

Пример 3. При взвешивании купленных яблок получено число 5,5 кг, причем известно, что предельная абсолютная погрешность равна 50 г. Определить предельную относительную погрешность и границы истинного значения (А) массы купленных яблок.

Решение. 1) а = 5,5 кг = 5500 г; Δ = 50 г;

.

2) Истинное значение массы А = 5500 г (± 50 г) или А = 5500 г (± 0,9 %).

Ответ. А = 5500 г (± 50 г) или А = 5500 г (± 0,9 %).

Дата добавления: 2014-12-27