Решение. Для алгебраических уравнений задача отделения корней может быть решена с помощью теоремы Декарта[1] (Число положительных корней уравнения (1) равно или на

Отделение корней.

Для алгебраических уравнений задача отделения корней может быть решена с помощью теоремы Декарта[1] (Число положительных корней уравнения (1) равно или на четное число меньше числа перемен знака в ряду коэффициентов уравнения) и теоремы Штурма[2] (Число действительных корней уравнения (1) на отрезке [ а; b ], равно разности между числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х=а и числом перемен знаков последовательности многочленов Штурма при х= b). Для трансцендентных уравнений сколько-нибудь общего алгоритма отделения корней не существует.

В общем случае для решения задачи отделения корней уравнения (1) можно воспользоваться следующими утверждениями.

Теорема 1 (Больцано[3] – Коши[4]). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения (1).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [ a; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует единственный корень уравнения (1).

Пример 1. Отделить корни уравнения . (2)

Рассмотрим функцию . Она определена и непрерывна для любого . А так как и при , то функция строго возрастает на интервале (0; +∞). Следовательно, на этом интервале уравнение (2) может иметь корень, причем единственный.

Что бы уточнить наличие корня на рассматриваемом интервале запишем уравнение (2) в эквивалентной[5] форме:

. (3)

Рисунок 1

х ^*

Построим графики функций и . Абсцисса точки пересечения графиков функций и будет точным значением корня х^* уравнения (3), а, следовательно, в силу эквивалентности, и уравнения (2).

Из рисунка 1 видно, что точное значение корня х^* уравнения (2) лежит на отрезке [0,5; 1].

Ответ. Точное значение корня х^* уравнения лежит на отрезке .

Дата добавления: 2014-12-27