Геометрическая иллюстрация процесса итераций

1)Для того чтобы приближенно, с заданной точностью, найти действительный корень х * уравнения х = φ (х), содержащийся в промежутке [ a; b ], построим графики функций у = х и у = φ (х) на этом промежутке и определим абсциссу х * их точки пересечения (рис. 14).

2) В качестве начального приближения возьмем любоедействительное значение х ₁ из промежутка [ a; b ]. Подставляя его в функцию у = φ (х), получим величину у ₁ = φ (х ₁). Геометрически этому действию соответствует точка А ₁кривой у = φ (х). Подставляя затем у ₁ в функцию у = х, получаем значение . Геометрически этому действию соответствует точка В ₁прямой у = х.

3) Подставляя значение х ₂ в функцию у = φ (х), получим величину у ₂ = φ (х ₂). Геометрически этому действию соответствует точка А ₂кривой у = φ (х). Подставляя затем у ₂в функцию у = х, получаем значение . Геометрически этому действию соответствует точка В ₂прямой у = х.

4) В результате получим последовательность значений х ₁, х ₂, х ₁,..., сходящуюся к х *,причем x ₂ = φ (х ₁), x ₃ = φ (х ₂), …, x_i = φ (х_{i -1}).

Рисунок 14

y=x

y=φ(x)

х ₄

х ^*

х ₃

х ₁

х ₂

b

а

у ₁

у ₃

у ₂

5) После выполнения неравенства , где ε – выбранная нами

точность приближения, процесс следует закончить.

Дальнейшие пояснения дадим на конкретном примере.

Пример 1. Методом итераций найти приближенное значение действительного корня уравнения с точностью до ε= 0,01.

Дата добавления: 2014-12-27