Метод половинного деления (метод вилки)

Методы численного решения уравнений.

Упражнения.

2.1 Отделить корни уравнения и уточнить промежутки их изоляции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Перед тем, как рассмотреть некоторые из приближенных методов решения уравнений опишем приемы контроля точности нахождения приближенного значения корня:

Утверждение1. Если х^* – точный, а х’ – приближенный корни уравнения f(x)= 0, принадлежащие отрезку [ a; b ], то справедлива оценка: , где .

Утверждение 2. Если – последовательность приближенных значений корня х^* уравнения и функция - непрерывно-дифференцируема на отрезке [ a; b ], причем на этом промежутке , то выполняется неравенство

.

Метод вилки приближенного решения уравнения

(1)

с точностью до ε, основан на доказательстве теоремы 2 (см. п. 2.1.), которое подробно разбирается в курсе математического анализа. Поэтому на самом доказательстве мы не будем останавливаться, но рассмотрим алгоритм метода, который напрямую следует из доказательства теоремы.

Замечание. Для оценки точности нахождения приближенного значения корня уравнения (1) будем использовать критерий, следующий из доказательства теоремы 2 (см. п. 2.1.): если – система вложенных отрезков[6], построенная для нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с точностью до ε и при некотором натуральном n, выполняется , то процесс решения заканчивается и в качестве приближенного значения корня х^* следует взять величину .

Алгоритм метода вилки. Пусть на отрезке [ a; b ] уравнение (1) имеет единственный корень х^*. Значит на этом отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 2 (см. п. 2.2), т. е. f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [ a; b ] и принимает на его концах значения разных знаков f(a)f(b)< 0.

1 шаг. Разделим отрезок [ a; b ] точкой на два равных отрезка: [ a; х₁ ] и [ х₁; b ]. Если f(x₁) = 0, то число х₁ – точное решение уравнения (1), т. е. х^* = х₁. В противном случае, т. е., если f(x₁)≠ 0, то либо f(a)f(х₁)< 0, либо f(х₁)f(b)< 0.

Если f(a)f(х₁)< 0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [ a; х₁ ]. Если же f(х₁)f(b)< 0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [ х₁; b ]. Для определенности предположим, что точное значения корня х^* содержится в отрезке [ a; х₁ ].

Рассмотрим абсолютное значение разности . Если

, то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х^* взять величину . Если же , то процесс решения продолжаем.

2 шаг. Так как f(a)f(х₁)< 0, то берем отрезок [ a; х₁ ] и разделим его точкой на два равных отрезка: [ a; х₂ ] и [ х₂; х₁ ]. Если f(x₂) = 0, то число х₂ – точное решение уравнения (1), т. е. х^* = х₂. В противном случае, т. е., если f(x₂)≠ 0, то либо f(a)f(х₂)< 0, либо f(х₂)f(х₁)< 0.

Если f(a)f(х₂)< 0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [ a; х₂ ]. Если же f(х₂)f(х₁)< 0, то точное значения корня х^* содержится в отрезке [ х₂; х₁ ]. Для определенности предположим, что точное значения корня х^* содержится в отрезке [ х₂; х₁ ].

Рассмотрим абсолютное значение разности . Если , то процесс нахождения приближенного значения корня следует закончить и в качестве приближенного значения корня х^* взять величину . Если же , то процесс решения продолжаем.

Т. е. на третьем шаге берем отрезок [ х₂; х₁ ], так как f(х₂)f(х₁)< 0, и делим его точкой и т. д. Продолжая процесс пока не будет достигнута заданная точность ε.

Пример 1. Методом вилки найти приближенные значения действительных корней уравнения с точностью до ε= 0,01.

Решение.

1 этап. Уравнение имеет единственный действительный корень х^*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).

2 этап. Найдем значения функции на концах отрезка [0,5; 1]:

и .

1 шаг. Разделим отрезок [0,5; 1] точкой на два равных отрезка: [0,5; 0,75]и [0,75; 1]. Найдем значение функции f(x) в точке х ₁= 0,75:

.

Так как f( 0,5 )f( 0,75 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,75].

Так как , то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,75] точкой на два равных отрезка: [0,5; 0,625]и [0,625; 0,75]. Найдем значение функции f(x) в точке х₂ = 0,625:

.

Так как f( 0,5 )f( 0,625 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5; 0,625].

Так как , то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [0,5; 0,625] точкой на два равных отрезка: [0,5; 0,5625]и [0,5625; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х₃ = 0,5625:

.

Так как f( 0,5625 )f( 0,625 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,625].

Так как , то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,625] точкой на два равных отрезка: [0,5625; 0,59375]и [0,59375; 0,625]. Найдем значение функции f(x) в точке х₄ = 0,59375:

.

Так как f( 0,5625 )f( 0,59375 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,59375].

Так как , то вычисления продолжаем.

5 шаг. Разделим отрезок [0,5625; 0,59375] точкой

на два равных отрезка: [0,5625; 0,578125]и [0,578125; 0,59375]. Найдем значение функции f(x) в точке х₅ = 0,578125:

.

Так как f( 0,5625 )f( 0,578125 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[0,5625; 0,578125].

Так как , то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х^* уравнения возьмем величину .

График функции , иллюстрирующий разобранный пример, приведен на рисунке 2.

Рисунок 2

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Пример 2. Методом вилки найти приближенное значение положительного действительного корня уравнения с точностью до ε= 0,01.

Решение.

1 этап. Отделим корни уравнения . Для этого рассмотрим функцию . Она определена и непрерывна для любого . Так как и при , а при или и при , то функция строго возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Следовательно, на этих интервалах уравнение может иметь корни.

В условиях задачи сказано найти приближенное значение положительного корня, поэтому рассмотрим интервалы , а точнее , и . Так как и , то на интервале исходное уравнение корней не имеет. Поэтому остается интервал . Так как на этом интервале , то на нем уравнение имеет единственный корень.

Что бы уточнить промежуток существования корня запишем уравнение в эквивалентной форме: и

Рисунок 3

построим на графики функций и . Абсцисса точи пересечения графиков этих функций и будет точным значением корня х^* уравнения , а, следовательно, в силу эквивалентности, и исходного уравнения.

х ^*

Из рисунка 3 видно, что точное значение корня х^* уравнения лежит на отрезке [1,8; 2].

2 этап. Найдем значения функции на концах отрезка [1,8; 2]:

и .

1 шаг. Разделим отрезок [1,8; 2] точкой на два равных отрезка: [1,8; 1,9]и [1,9; 2]. Найдем значение функции f(x) в точке х ₁= 1,9:

.

Так как f( 1,8 )f( 1,9 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8; 1,9].

Так как , то вычисления продолжаем.

2 шаг. Разделим отрезок [1,8; 1,9] точкой на два равных отрезка: [1,8; 1,85]и [1,85; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₂ = =1,85:

.

Так как f( 1,85 )f( 1,9 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,85; 1,9].

Так как , то вычисления продолжаем.

3 шаг. Разделим отрезок [1,85; 1,9] точкой на два равных отрезка: [1,85; 1,875]и [1,875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₃ = 1,875:

.

Так как f( 1,875 )f( 1,9 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,875; 1,9].

Так как , то вычисления продолжаем.

4 шаг. Разделим отрезок [1,875; 1,9] точкой на два равных отрезка: [1,875; 1,8875]и [1,8875; 1,9]. Найдем значение функции f(x) в точке х₄ = 1,8875:

.

Так как f( 1,8875 )f( 1,9 )< 0, то по теореме 2 (см. п. 2.1.), корень исходного уравнения расположен на отрезке[1,8875; 1,9].

Так как , то можно сделать вывод о том, что необходимая точность достигнута и в качестве приближенного значения корня х^* уравнения возьмем величину

.

Ответ. с точностью до ε= 0,01.

Дата добавления: 2014-12-27