Пусть на отрезке [ a; b ] функция непрерывна и дважды дифференцируема, на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)< 0, и не обращаются в ноль не в одной точке. Тогда уравнение (1) на отрезке [ a; b ] имеет единственное действительное решение х*, приближенное значение которого можно найти, используя метод хорд.
В зависимости от знаков и возможно 4 типа расположения графика функции f(x), которые представлены на рисунках 4 – 7.
х
у
О
а
х1
х2
х3
b
х*
А
В1
В2
В3
В
Рисунок 4
х1
Рисунок 5
х
у
О
х*
а
х2
b
А
А1
А2
В
х2
х*
А1
Рисунок 6
х
у
О
а
х1
х3
b
А
А2
А3
В
Рисунок 7
х
у
О
х*
а
х2
b
А
В1
В2
В
х1
Поэтому рассмотрим два случая: 1) ; 2) .
1 случай. на [ a; b ], т. е. либо и на [ a; b ] (см. рис. 4), либо и на [ a; b ] (см. рис. 7).
Построим алгоритм нахождения приближенного значения корня уравнения (1) в данном случае.
1 шаг. Через точки A (a; f (a))и B (b; f (b)) графика функции y=f (x) проведем хорду АВ, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох:
Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через В1 точку с координатами , т. е. В1.
2 шаг. Через точки В1 и B (b; f (b)) графика функции y=f (x) проведем хорду В1В, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды В1В с осью Ох:
Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через В2 точку с координатами , т. е. В2.
3 шаг. Через точки В2 и B (b; f (b)) графика функции y=f (x) проведем хорду В2В, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды В2В с осью Ох:
И так далее.
В результате получим последовательность , сходящуюся к точному значению корня х* уравнения (1). Процесс построения последовательности , т. е. нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с заданной точностью заканчиваем после выполнения неравенства .
(4)
Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:
, где i= 1, 2, 3, ….
2 случай. на [ a; b ], т. е. либо и на [ a; b ] (см. рис. 5), либо и на [ a; b ] (см. рис. 6).
Построим алгоритм нахождения приближенного значения корня уравнения (1) в данном случае.
1 шаг. Через точки A (a; f (a))и B (b; f (b)) графика функции y=f (x) проведем хорду АВ, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох:
Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через А1 точку с координатами , т. е. А1.
2 шаг. Через точки А1 и А (a; f (a)) графика функции y=f (x) проведем хорду AA1, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды AA1 с осью Ох:
Подставив значение в уравнение графика функции y=f (x), найдем значение: . Обозначим через A2 точку с координатами , т. е. A2.
3 шаг. Через точки A2 и А (a; f (a)) графика функции y=f (x) проведем хорду AA2, уравнение которой имеет вид
или
Положив у= 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды AA2 с осью Ох:
И так далее.
В результате получим последовательность , сходящуюся к точному значению корня х* уравнения (1). Процесс построения последовательности , т. е. нахождения приближенного значения корня уравнения (1) с заданной точностью заканчиваем после выполнения неравенства .
Следовательно, во втором случае вычисления производятся по формулам:
(5)
, где i= 1, 2, 3, ….
Пример 1. Методом хорд найти приближенные значения действительных корней уравнения с точностью до ε= 0,01.
Решение.
1 этап. Уравнение имеет единственный действительный корень х*, который расположен на отрезке [0,5; 1] (см. пример п. 2.1.).
2 этап. Рассмотрим функцию и найдем её первую и вторую производные. Так как , и , при х [0,5; 1], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (5). Построим схематически график функции (рис. 8).
-0,193
Рисунок 8
х
у
О
х*
0,5
х2
А
А1
А2
В
х1
1 шаг. Координаты точек А и В: А (0,5; -0,193), В (1; 1), следовательно,
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
непрерывна и дважды дифференцируема, на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)< 0, 
и 
не обращаются в ноль не в одной точке. Тогда уравнение (1) на отрезке [ a; b ] имеет единственное действительное решение х*, приближенное значение которого можно найти, используя метод хорд.
; 2) 
.
и 
на [ a; b ] (см. рис. 4), либо 
и 
на [ a; b ] (см. рис. 7).
точки пересечения хорды АВ с осью Ох:
. Обозначим через В 1 точку с координатами 
, т. е. В 1 
точки пересечения хорды В 1 В с осью Ох:
. Обозначим через В 2 точку с координатами 
, т. е. В 2 
точки пересечения хорды В 2 В с осью Ох:
, сходящуюся к точному значению корня х* уравнения (1). Процесс построения последовательности 
заканчиваем после выполнения неравенства 
.
, где i= 1, 2, 3, ….
. Обозначим через A 2 точку с координатами 
с точностью до ε= 0,01.
и найдем её первую и вторую производные. Так как 
, 
и 
, 
при х 
[0,5; 1], то вычисление приближенного значения корня будем проводить по формулам (5). Построим схематически график функции 
.
.