Решение. Округлить число – значит сохранить в его записи одну или несколько цифр, считая слева направо, а остальные отбросить

Решение.

Решение.

Округление чисел.

Округлить число – значит сохранить в его записи одну или несколько цифр, считая слева направо, а остальные отбросить.

Определение 2. Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевой слева.

Например, в записи 0,2301 четыре значащих цифры, а в записи 1,0500 – пять.

Рассмотрим правило округления чисел.

Утверждение (правило округления). Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n -ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменить их нулями. (При этом если первая из отброшенных цифр, считая слева, больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1, в противном случае - последнюю оставшуюся цифру оставляют без изменения. Если же отбрасывается только одна цифра 5, то последнюю оставшуюся цифру оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на 1, если она нечетная).

Пример 1. Округлить число 0,350264: а) до четырех значащих цифр; б) до двух значащих цифр.

а) Так как пятая значащая цифра – 6, то, учитывая, что 6 > 5, искомое приближенное значение данного числа равно 0,3503.

б) Так как третья значащая цифра – 0 и 0 < 5, то приближенное значение данного числа равно 0,35.

Ответ. а) 0,3503; б) 0,35

Пример 2. Округлить число 23,5 до двух значащих цифр.

Так как отбрасывается только одна цифра 5 и последняя остающаяся цифра – 3 (нечетная), то приближенное значение данного числа равно 24.

Ответ. 24.

Определение 3. Цифра какого-либо разряда в приближенном числе считается верной, если число имеет абсолютную погрешность не больше половины единицы этого разряда, в противном случае цифра этого разряда и цифры следующие справа разрядов считаются сомнительными.

Пример 3. Определить верная или сомнительная цифра разряда сотых в приближенном числе а, если 1) А = 0,352; а = 0,35, 2) А = 0,352; а = 0,36.

1) Абсолютная погрешность Δ_а = | A – a| = |0,352 – 0,35| = 0,002. Так как в приближенном числе а цифра 5 – цифра разряда сотых и абсолютная погрешность Δ_а = 0,002 < 0,5·10^-2 = 0,005, то она является верной.

2) Абсолютная погрешность Δ_а = | A – a| = |0,352 – 0,36| = 0,008. Так как в приближенном числе а цифра 6 – цифра разряда сотых и абсолютная погрешность Δ_а = 0,008 > 0,5·10^-2 = 0,005, то она является сомнительной.

Ответ. 1) верная; 2) сомнительная.

Справедливо следующее утверждение: если десятичная форма записи приближенного числа содержит только верные цифры, то его абсолютная погрешность не превышает половины единицы низшего разряда.

Замечание 1. Если в десятичной записи приближенного числа последняя значащая цифра является верной, то предельная абсолютная погрешность этого числа равна половине единицы низшего разряда.

Пример 4. Найти предельные абсолютные погрешности приближенных чисел, записанных в десятичной форме верными цифрами: а = 2,7; б = 0,0373; с = 5472.

Решение. Δ_а = 0,5·10^-1 = 0,05; Δ_б = 0,5·10^-4 = 0,00005; Δ_с = 0,5·10⁰ = 0,5.

Ответ. Δ_а = 0,05; Δ_б = 0,00005; Δ_с = 0,5.

Замечание 2. Запись приближенного числа без указания погрешности означает, что все его записанные цифры верны.

Замечание 3. Если приближенное число является промежуточным результатом и должно еще участвовать в последующих вычислениях, то следует у него сохранять одну-две сомнительные цифры.

Дата добавления: 2014-12-27