Метод узловых потенциалов. Систему уравнений для сложной цепи можно построить, взяв в качестве неизвестных величин потенциалы узлов

Рис. 1.3.11

Систему уравнений для сложной цепи можно построить, взяв в качестве неизвестных величин потенциалы узлов. Уравнения составляются по перво­му закону Кирхгофа. Число урав­нений в системе равно N – 1, где N – число узлов цепи. Найдя узловые по­тен­циалы, далее находят токи вет­вей, используя закон Ома.

Задача 1.3.12. Составить систему уравнений по методу узловых потен­­циа­лов для цепи, представ­лен­ной на рис. 1.3.11: R ₁ = 6 Ом, E ₁ = 15 В, R' ₁ = 10 Ом, E' ₁ = 5 В, R ₂ = 5 Ом, E ₂ = 70 В, R' ₂ = 15 Ом, R ₃ = 2,5 Ом. Найти токи ветвей.

Решение.

1. Задаются направления токов в ветвях, направления могут быть произвольны, конечный вид системы уравнений не зависит от выбранных направлений.

2. Число узлов в цепи три, т. о. необходимо составить два уравнения:

I ₁ + I' ₁ – I ₂ – I' ₂ = 0;

I ₂ + I' ₂ – I ₃ = 0.

3. Все узлы цепи обозначим потенциалами Y₁, Y₂, … Y _N. Так как важно знать разность потенциалов между узлами, один из них можно принять равным нулю, например Y₀ = 0.

4. Ток каждой ветви можно выразить теперь через введенные потенциалы и элементы ветвей. Для придания определенных знаков токам ветвей, э.д.с. и потенциалам выбирается направление движения от одного узла к другому. Далее можно следовать условным правилам, например:

если направление тока ветви совпадает с направлением движения от узла к узлу, берем его со знаком «плюс», если нет – со знаком «минус»;

если направление э.д.с. совпадает с направлением движения от узла к узлу, берем его со знаком «плюс», если нет – со знаком «минус».

Для получения разности потенциалов вычитать, например, из предыдущего потенциала последующий потенциал, по ходу движения от узла к узлу.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Полученные выражения подставим в систему уравнений

1.

2. .

Приведем уравнения к каноническому виду

;

.

Представим систему в матричной форме

.

Отметим следующие закономерности в системе уравнений:

члены главной диагонали матрицы проводимостей представляют собой сумму проводимостей ветвей, сходящихся в узле.

Остальные члены матрицы проводимостей представляют собой сумму проводимостей ветвей, соединяющих узлы взятых c отрицательным знаком.

3. матрица проводимостей симметрична относительно главной диагонали.

4. Члены матрицы в правой части равенства есть токи короткого замыкания ветвей, соединяющих узлы; их знаки определяются направлением э.д.с. в ветви. При направлении э.д.с. в сторону движения – «плюс», против движения – «минус».

Отмеченные закономерности позволяют проверить правильность составления системы уравнений. Их можно использовать так же как правила составления системы уравнений в матричной форме непосредственно.

Найдем потенциалы узлов, используя правило Крамера:

; ,

где | Y | определитель матрицы проводимостей, |D₁|, |D₂| – определители, полученные заменой соответствующего столбца определителя | Y | столбцом токов короткого замыкания:

;

;

В; В.

Найдем токи ветвей:

; ; ; ; .

Дата добавления: 2014-12-24