Пример 4.17

Колесо скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом (Рис. 4.19). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами и и радиусами и соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить скорость оси колеса, натяжение троса на участках и , реакцию оси блока .

Рассмотрим движение каждого из трех тел в отдельности. Силовые схемы представлены на Рис. 4.19.

Колесо совершает плоско-параллельное движение. Одну из осей координат направим вниз по наклонной плоскости (в сторону движения центра колеса). Дифференциальные уравнения движения имеют вид:

Груз движется поступательно:

Тело вращается вокруг неподвижной оси:

Рис. 4.19

Приведенную систему уравнений необходимо дополнить кинематическими соотношениями:

Поскольку масса троса не учитывается, то

Сила трения скольжения между грузом и опорной поверхностью определяется по формуле:

Для определения реакции оси блока используем теорему о движении центра масс (применительно к блоку ):

При решении полученной системы уравнений, прежде всего, необходимо определить скорость оси колеса. Используя уравнения и первое из уравнений , получаем:

Используя уравнения и третье из уравнений , получаем:

С учетом уравнений и второго уравнения , из получаем:

Складывая уравнения , получаем:

Из уравнения находим ускорение центра колеса:

Интегрируя по времени при нулевых начальных условиях, определяем скорость центра колеса:

Подставляя ускорение центра колеса в уравнения и , определяем натяжение троса на участках и :

Из уравнений определяем реакцию шарнира блока:

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 37.6; 37.9; 37.43; 37.44; 37.46; 37.50; 37.52; 37.56; 37.57; 37.58; 39.4; 39.6; 39.11; 39.13; 39.15; 39.19.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплекты СР-30; СР-31.

Дата добавления: 2014-12-25