Интегральная форма теоремы об изменении кинетической энергии

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Применение этой формы теоремы об изменении кинетической энергии наиболее эффективно при решении задач, в которых необходимо определить зависимость какой-либо скорости (линейной или угловой) от перемещений, совершенных точками механической системы, причём, предоставляется возможность вычисления работы сил без детального кинематического анализа движения механической системы. Например, при наличии потенциальных сил, можно вычислить работу сил, имея информацию только о начальном и конечном состояниях системы.

Пример 5.1

Колесо скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом (Рис. 5.1). К оси колеса привязан трос, переброшенный через неподвижный блок и прикрепленный к грузу , поднимающемуся по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. В начальный момент система находилась в покое. Колесо и блок представляют собой сплошные однородные диски с массами и и радиусами и соответственно. Масса груза равна . Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен . Определить зависимость скорости оси колеса от числа оборотов блока .

Рис. 5.1

Начальная кинетическая энергия системы равна нулю. Система состоит из трех абсолютно твердых тел и нерастяжимого троса, поэтому суммарная работа всех внутренних сил также равна нулю. При таких условиях кинетическая энергия системы в любой момент времени равна сумме работ внешних сил, совершенных к этому моменту времени.

Найдем кинетическую энергию системы. Вычисляем кинетическую энергию системы:

.

Учитывая кинематические соотношения

получаем:

Рис. 5.2

При вычислении работы внешних сил заметим, что сила трения работу не совершает, поскольку точка приложения этой силы в любой момент времени имеет нулевую скорость. Перемещения точек связаны между собой соотношениями (Рис. 5.2):

Вычислим работу внешних сил:

Возвращаясь к теореме об изменении кинетической энергии, находим:

Дата добавления: 2014-12-25