Пример 5.2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к определению реакций связей

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к определению реакций связей

Реакции связей зависят от движения точек механической системы, которое заранее неизвестно. Однако можно привести множество задач, в которых именно теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной или интегральной форме предоставляет возможность достаточно просто определить кинематические характеристики механической системы. Это замечание относится, в первую очередь, к механическим системам с одной степенью свободы.

По рельсам, положенным по пути и образующим затем петлю в виде кругового кольца радиуса , скатывается тележка массы (Рис. 5.3). Пренебрегая трением, определить, с какой высоты нужно пустить тележку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отрываясь от него. Определить давление тележки на кольцо в любой точке .

Положение точки на кольце будем задавать углом . В соответствии со вторым законом Ньютона

Траектория точки на участке — окружность. Интересующая нас сила направлена по нормали к этой окружности. Поэтому запишем уравнение в проекциях на главную нормаль к траектории. Учитывая формулы (1.4), получаем:

Остается определить скорость точки. Это в данном случае удобно сделать при помощи теоремы об изменении кинетической энергии.

Заметим, что нормальная реакция не совершает работу, т.к. сила всегда направлена перпендикулярно скорости точки приложения силы. Работу совершает только сила тяжести. Поэтому в рассматриваемом случае имеем:

где

Отсюда:

Подставляя полученный результат в уравнение , находим:

Рис. 5.3

Как видно из решения (с), давление на опорное кольцо минимально в верхней точке окружности при :

Чтобы тележка не отделялась от опоры в верхней точке, должно выполняться условие отсюда:

Дата добавления: 2014-12-25