Метод импульсных характеристик

Применив обратное преобразование Фурье к произведению (2.4), получим отклик системы в виде свертки двух функций времени в бесконечных пределах, соответствующих образам Фурье и :

,

где

.

Аналогично применив преобразование Лапласа в (2.8) к произведению при нулевых начальных условиях, получим выражение для отклика системы в виде такой свертки функций и :

где

.

Заметим, что обе свертки, полученные как в рамках метода преобразований Фурье, так и в рамках метода преобразований Лапласа, нечувствительны к замене аргументов на . Т.е. аргументы в функциях и можно поменять местами:

Действительно, заменим, например, в (2.14) переменную на . Тогда

Далее, заменив на , получим правые части равенств (2.14).

Функцию , определенную путем применения обратных преобразований (2.11) Фурье или Лапласа (2.13) к передаточным характеристикам или , называют импульсной характеристикой (реакцией) системы.

По физическому смыслу импульсная характеристика системы является реакцией системы на дельта-функцию . Действительно, подставляя , например, в формулу (2.10), получаем:

.

В литературе импульсную характеристику называют также аппаратной функцией, весовой функцией, а при исследовании пространственно распределенных систем, изменяющихся во времени и описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных (например в электродинамике), функцией Грина.

Следует отметить, что, интегрируя в (2.11) произвольную передаточную характеристику, можно получить импульсную характеристику физически нереализуемого фильтра. Для физической реализуемости фильтра необходимо, чтобы при , т.е. чтобы реакция фильтра на дельта-импульс возникла после его действия на входе (для соблюдения принципа причинности). В этом смысле более корректными являются операции (2.12) и (2.13).

Рассмотрим физический смысл интеграла свертки (2.12). Запишем его в виде суммы

Если представить функцию в виде совокупности плотно прижатых друг к другу коротких импульсов (взамен -функций) и сложить все реакции в момент времени (рис. 2.5), получим выходное воздействие .

Рис. 2.5. Физический смысл интеграла свертки

Дата добавления: 2014-12-26