Методические рекомендации. Вопросы, выносимые на обсуждение

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Составление уравнений касательной и нормали к плоской кривой.

2. Применение правил Лопиталя при вычислении пределов функции.

3. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Обсудите вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

Рекомендуемая литература

[1] глава 8 п. 8.6., п. 8.9.

[2] глава VII § 1.

[3] глава 6 § 25.

[4] часть II занятия 30, 36.

[5] глава 2 § 2.3.

[6] глава 6 §§ 1-3.

[7] глава VI §§ 1-3.

[8] глава 5 §§ 13-14.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Составьте уравнения касательной и нормали к параболе в точке

Решение. Так как надо составить уравнения касательной и нормали в точке , то

Тогда уравнение касательной в точке будет иметь вид: или

А уравнение нормали: или .

2. С помощью правила Лопиталя найдите пределы:

а) б) в) г)

Решение. а) В данном пределе имеем неопределенность вида . По правилу Лопиталя заменим отношение этих величин отношением их производных:

Замечание. Аналогично можно раскрыть неопределенность вида

б) В данном пределе имеем неопределенность . Сведем эту неопределенность к виду , а затем применим правило Лопиталя:

в) В данном пределе имеем неопределенность вида Преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применим правило Лопиталя:

г) В данном пределе имеем неопределенность вида . Заметим сразу, что таким образом можно раскрыть неопределенности вида и . Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаю (а затем к случаю и ) следующим путем: функция логарифмируется и сначала находится предел ее логарифма, а затем по найденному пределу логарифма находится и предел самой функции. Таким образом, пусть .

Логарифмируем функцию и находим предел ее логарифма:

Здесь нахождение предела свелось к случаю . Применяя правило Лопиталя, получим: Неопределенность осталась. Применим правило Лопиталя 2-й раз:

Теперь по найденному пределу логарифма функции находим искомый предел самой функции:

Таким образом:

3. Разложите многочлен по степеням по формуле Тейлора.

Решение. Найдем значение многочлена и его производных при

и все последующие производные равны 0. Тогда для разложения многочлена по степеням по формуле Тейлора имеем:

т.е.

Теоретические задания

Дата добавления: 2014-12-26