Означення функції та її властивості

Завдання для самостійної роботи

Розв’язання.

3.1. Знайти логарифми за основою 10 таких виразів:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) .

3.2. Спростити вирази:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8)

9) 10) 11)

3.3. Визначити знаки чисел:

1) 2) 3) 4) 5)

3.4. Обчислити:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

3.5. Дано Знайти

3.6. Дaно Знайти

ГЛАВА 4. ФУНКЦІЇ ТА ГРАФІКИ

Означення функції. Правило (закон) відповідності між множинами і , за яким для кожного елемента з множини можна знайти один і тільки один елемент з множини , називається функцією.

При цьому називається незалежною змінною, або аргументом, а –залежною змінною, або функцією. Позначення: . Множина всіх допустимих значень аргументу , при яких функція визначена, називається областю визначення функції. Множина всіх значень , яких набуває функція, називається областю значень функції.

Приклад 4.1. Знайти область визначення і область значень функцій:

– область визначення функції , область значень функції

– область визначення функції область значень функції

– область визначення функції , область значень функції

Щоб задати функцію, необхідно вказати її область визначення та правило, за яким кожному значенню з області визначення відповідає значення . Розрізняють такі способи задання функції:

1. Табличний спосіб, який полягає в тому, що функцію можна задати за допомогою таблиці (табл. 4.1), в якій в одному рядку (або стовпчику) записано всі значення аргументу, а в другому – відповідні значення функції.

Таблиця 4.1

			…
			…

Табличний спосіб виявляється зручним, коли область визначення функції складається із скінченного числа точок. Але при розгляді теоретичних питань, вивченні якісної поведінки функції не можна обмежуватись функціями, які визначені лише в скінченному числі точок.

2. Графічний спосіб, який полягає в тому, що подається графік цієї функції. Графік дає просте і наочне уявлення про якісну поведінку функції, але точність обчислення значень функції за допомогою графіка досить низька внаслідок похибок при проведенні перпендикулярів і вимірюванні довжин.

3. Аналітичний спосіб, який полягає в тому, що виражають через за допомогою формули, що показує, які дії треба виконати з аргументом , щоб отримати значення . Аналітичний спосіб дає можливість обчислити значення функції при довільному значенні аргументу, при якому вона визначена точно або з довільною точністю.

4. Словесне задання функції,яке полягає в тому, що закон, за яким обчислюється виражається словами.

Нулі функції. Значення аргументу, при якому функція дорівнює , називається нулем функції. Функція може мати декілька нулів. Наприклад, функція має три нулі: Геометрично нуль функції – це абсциса точки перетину графіка функції з віссю . На рис. 4.1 зображено графік функції з нулями і

Рис. 4.1

Монотонна функція. Функція зростає на деякому проміжку, якщо для всіх і з цього проміжку з нерівності випливає нерівність . Функція спадає на деякому проміжку, якщо для всіх і з цього проміжку з нерівності випливає нерівність . Функція, яка спадає або зростає на певному проміжку,називається монотонною на цьому проміжку.

Обмежена і необмежена функції. Функція називається обмеженою, якщо існує таке додатне число , що для всіх значень . Якщо такого числа не існує, то функція не обмежена. Так, наприклад, функція на рис. 4.2 обмежена, але не монотонна, а на рис. 4.3 - монотонна, але не обмежена.

Рис. 4.2 Рис. 4. 3

Неперервна і розривна функції. Функція називається неперервною в точці , якщо:

1) функція визначена при , тобто існує;

2) існує скінченна границя ; 3) .

Якщо не виконується хоч одна з цих умов, то функція називається розривною в точці . Якщо функція неперервна в кожній точці області визначення, то вона називається неперервною функцією. Функція , графік якої наведено на

рис. 4.4, розривна при , оскільки не визначена при . В усіх інших точках вона неперервна. Функція (рис. 4.5) розривна при .

Асимптота. Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.

Парна і непарна функції. Якщо для будь-якого з області визначення функції виконується , то функція називається парною; якщо – , то функція називається непарною. Графік парної функції симетричний відносно осі (рис. 4.6), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат

(рис. 4.7).

Періодична функція. Функція – періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число , що для будь-якого з області визначення функції виконується рівність

. Таке найменше число називається періодом функції.

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Приклад 4.2. Довести, що має період .

Розв’язання. Відомо, що де , тому додавання

Рис. 4.6 Рис. 4.7

до аргументу синуса не змінює його значення. Чи є інше число з такою властивістю? Припустимо, що – таке число, тобто рівність виконується для будь-якого значення . Але тоді воно має місце і при тобто Однак за формулою зведення Тоді з двох останніх рівностей випливає, що . Але це правильно лише при Оскільки найменшим відмінним від нуля числом з є , то це число і є періодом . Аналогічно можна довести, що є періодом і для .

Приклад 4.3. Яке число є періодом функції ?

Розв’язання. Оскільки ,то додавання до аргументу не змінює значення функції. Найменше відмінне від нуля число з є Таким чином, воно і є періодом .

Обернена функція. Припустимо, що на проміжку визначена функція . Нехай область зміни цієї функції – проміжок . Якщо для всіх

рівняння має лише один розв’язок, який належить проміжку , то на проміжку можна розглянути таку функцію : для кожного позначимо через корінь рівняння , тобто для всіх з проміжку . Визначена так функція називається оберненою на проміжку .

Якщо функція визначена на довільній множині і кожного свого значення набуває тільки раз, то існує обернена функція , визначена на всій області зміни функції – ; областю зміни є множина .

Знаходження оберненої функції зводиться до розв’язування рівняння відносно .

Якщо одному значенню з області зміни відповідає кілька значень , то обернена функція для на всій області визначення не існує, але має обернену функцію на кожному інтервалі монотонності.

Якщо функція обернена до функції і , то . Отже, якщо точка належить графіку функції , то точка належить графіку функції . Але ці дві точки симетричні відносно прямої . Тому, щоб побудувати графік функції , оберненої до функції , треба графік функції симетрично відобразити відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. На рис. 4.8 зображено графіки обернених функцій і .

Рис. 4.8

Приклад 4.4. Записати функцію, обернену до функції і побудувати її графік.

Розв’язання. Функція монотонна, тому обернена на всій області визначення, якою є множина дійсних чисел. Щоб скласти формулу оберненої функції, розв’яжемо рівняння відносно змінної : . Оскільки зазвичай ми позначаємо незалежну змінну – , а функцію – , то в отриманому виразі поміняємо місцями змінні. Функція і є оберненою до даної. Графіки цих функцій наведено на рис. 4.9.

Складена функція. Розглянемо функцію Фактично цей запис означає такий ланцюжок функціональних перетворень:

.

У загальному вигляді останні перетворення можна записати так:

Рис. 4.9

або

Маємо два послідовних правила відповідності (тобто функції), використовуючи які отримаємо як функцію від . У цьому випадку говоримо, що – складена функція від .

Приклад 4.5. Наступні функції є складеними:

Розв’язання. Ланцюжок перетворень для першої з них такий:

Для другої: для третьої: .

Графік функції. Графіком функції називається множина точок координатної площини, абсцисами яких є значення аргументу з області визначення функції, а ординатами – значення функції з області значень.

Дата добавления: 2014-12-26