![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вопросы для самопроверки. Примеры решения задач
Примеры решения задач.
Задача 1. Исследовать сходимость ряда: Решение: Применим признак Даламбера: Т.к. l > 1, то ряд расходится.
Задача 2. Исследовать сходимость ряда Решение: Имеем
1. Какое выражение называется числовым рядом с положительными членами? Знакочередующимся числовым рядом? 2. Что понимается под суммой сходящегося числового ряда? 3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю при n® ¥? 4. В чём состоит признак Даламбера? 5. Какие знакопеременные числовые ряды называются абсолютно сходящимися и какие условно сходящимися? 6. В чём заключается интегральный признак сходимости числового ряда? 7. Сформулировать один из признаков сравнения числовых рядов.
Тема 15. Степенные ряды. Приложения степенных рядов. Пискунов, гл XVI, § 9-22, упр 40-132 Данко ч. II, гл. III, §2-6.
15. 1. Основные понятия и формулы.
1. Определение. Функциональный ряд вида a0+a1(x-x0)+a 2 (x-x0) 2 + +…++… где a 0, a 1 … a n – действительные числа (коэффициенты степенного ряда) называется степенным рядом. a 0 +a 1 x+ a 2 x2 +a 3 x3 + + …+an xn +… частный случай степенного ряда. 2. - формула для нахождения радиуса сходимости сте-пенного ряда.
3. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши: или, где Un=an(x-x 0 )n или Un=an xn 4. Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале (x 0 -R,x 0 +R), может быть разложена в ряд Тейлора:
или в ряд Маклорена:
5. На практике часто приходится прибегать к приближённым вычислениям, основанным на разложении некоторой функции в степенной ряд и последующей замене ряда конечной суммой с требуемой точностью. При вычислении определённых интегралов, решении дифференциальных уравнений также применяют разложение соответствующих функций в степенные ряды.
15.2. Примеры решения задач.
Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда Решение: Данный степенной ряд можно записать так: (1) Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х,для которых илиили Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала. При ряд (1) примет вид: (2) Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при n ®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда. Подставив в (1), получим: (3) Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.
Задача 2. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
Решение: Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin х, будем иметь:
Тогда Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,
Задача 3. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у' =x+ х 2 — y 2 + cos x, если у( 0 )= 1.
Решение: Положим, что y(x) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если y(x) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем: (1) Свободный член разложения (1), т.е. y (0), дан по условию. Чтобы найти значения (0), (0), (0),…,можно данное уравнение последо-вательно дифференцировать по переменной x и затем вычислить значения производных при x =0. Значение y¢(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение: y¢ (0)=0+0-1+1=0; y¢ (0)=0 y¢¢ (x)=1+2 x -2 yy¢ -sin x - производная данного уравнения (2) y¢¢ (0)=1+0-0-0=1; y¢¢¢(x) =2-2(y¢)2-2 yy¢¢- cos x - производная уравнения y¢¢¢ (0)=2-0-2-1= -1. ………………….. Подставив найденные значения производных при x =0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
15.3 Вопросы для самопроверки. 1. В чём заключается задача разложения функции f(x) в степенной ряд? 2. Как найти интервал сходимости степенного ряда? 3. Как определяются коэффициенты ряда Тейлора? 4. Запишите остаточный член ряда Тейлора. 5. Какой ряд называется рядом Маклорена? 6. В чём состоит метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов? 7. В чём состоит метод интегрирования функции с помощью степенных рядов?
Дата добавления: 2014-12-23; Просмотров: 382; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |