К выполнению контрольной работы №4

Указания

Контрольная работа № 3.

Вопросы для самопроверки.

Тема 16. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье.

Пискунов, гл. XVII, §1-3, упр 1-14

Данко, ч.2, гл III, §8,9.

Определение. Рядом Фурье функции f(x), определённой на отрезке называется ряд:

где

Задача. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на уравнением.

Решение: Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки и. На рисунке показан график y=S(x), где S(x) -сумма ряда Фурье функции f(x). Эта сумма является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией f(x) на

Определяем коэффициенты ряда Фурье.

I ₂

I ₂=0, как интеграл от нечётной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно т. O (0;0).

Значит,

a_m= 0, т.е a ₁ =a ₂ =a ₃ =…= 0

Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

1. Какой ряд называется тригонометрическим? В чём состоит задача разложения функции в тригонометрический ряд?

2. Какой вид имеют коэффициенты Фурье периодической функции с периодом?

3. Указать особенности разложения в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

4. Как можно раскладывать в ряд Фурье функции, заданные на половине периода?

В ЗАДАЧАХ 211-220 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

211. 212.

213. 214.

215. 216.

217. 218.

219. 220.

В ЗАДАЧАХ 221-230 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанному начальному условию.

221. y(0)=0;

222.

223. y(1)=0;

224.

225.

226. y(0)= -1;

227. y(1)=1;

228. y(0)= 1;

229. y(0)=0;

230.

В ЗАДАЧАХ 231-240 найти: а) частное решение линейного одноро-дного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям; б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравне-ния второго порядка с постоянными коэффициентами.

231. а)

б)

232. а)

б)

233. а)

б)

234. а)

б)

235. а)

б)

236. а)

б)

237. а)

б)

238. а)

б)

239. а)

б)

240. а)

б)

В ЗАДАЧАХ 241-250: а) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

241. а) б) в)

242. а) б) в)

243. а) б) в)

244. а) б) в)

245. а) б) в)

246. а) б) в)

247. а) б) в)

248. а) б) в)

249. а) б) в)

250. а) б) в)

В ЗАДАЧАХ 251-260 вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001 путём предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

251. 252.

253. 254.

255. 256.

257. 258.

259. 260.

В ЗАДАЧАХ 261-270 разложить заданную функцию f (x) в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0;p].

261. f (x)= x-2; 262. f (x)=3x;

263. f (x)= 1-x; 264. f (x)= 2x-1;

265. f (x)= p-2x; 266. f (x)= 3x+1;

267. f (x) = -2x+3; 268. f (x) = px +2;

269. 270.

В ЗАДАЧАХ 271-280 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд Маклорена функции f (x), являющейся решением данного дифференциального ура-внения.

271. y (0)=0

272. y (0)=0

273. y (0)=1

274. y (0)=1

275. y (0)=0

276. y (0)=1

277. y (0)=0

278. y (0) =0

279. y (0)= 0.

280. y (0)=1

(темы 17-19)

Гмурман В.Е гл.I, § 1-8, гл II, § 1-4, гл III, § 1-5, гл IV, § 1-3, гл V, § 1-4, гл VI, § 1-8, гл VII, гл VIII, гл IX, гл X, гл XI, гл XII, гл XIII.

Дата добавления: 2014-12-23