Тема 18. Случайные величины

18.1. Понятие случайной величины и основные формулы.

1. Определение. Переменная величина x называется случайной величиной, если в результате испытания она примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин.

2. F(x)=P(X< x), где x - заданное значение, событие (X< x) означает, что случайная величина X примет значение левее точки x.

3. Производная от функции распределения (F¢(x)) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Т.е. F¢(x)=f(x) - плотность вероятности непрерывной случайной величины.

4. нахождение функции распределения непрерывной случайной величины X по её плотности распределения.

5. P(a< x< b)= - вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a,b). P(a< x< b)=F (b)- F (a)- для дискретной случайной величины.

6. - математическое ожидание дискретной случайной

величины X (центр распределения X).

7. - математическое ожидание непрерывной слу-чайной величины X, все значения которой находятся в [a,b].

8. -математическое ожидание непрерывной слу-чайной величины X в случае, если значения её сплошь заполняют числовую ось (ox),где f(x) - плотность вероятности.

9. M(X-M(X))²=Д(X) - определение дисперсии дискретной случайной величины X.

10. M(X²)-(M(X))²=Д(X) - формула для вычисления дисперсии.

11. =- среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

12. - определение дисперсии непрерыв-ной случайной величины, где M(X) - математическое ожидание

f(x) - плотность вероятности

Д(X) - дисперсия непрерывной случайной величины X, если все её возможные значения сосредоточены на [ a,b ].

13. - дисперсия в случае, когда значения Н.С. В. сплошь заполняют числовую ось (OX).

14. и -

формулы для вычисления дисперсии Н.С.В.

15. начальный момент k- го порядка.

центральный момент k- го порядка. и позволяют лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность.

16. - асимметрия

эксцесс

и e_k оценивают отклонение теоретического распределения от нормального.

17. Равномерное распределение.

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на [ a,b ] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке (см. рис).

18. Биномиальное распределение. Закон дискретной случайной величины X, заданной формулой Бернулли:, где q = 1- p называется биномиальным.

19. Закон распределения дискретной случайной величины X, заданный формулой Пуассона, называется законом Пуассона.

20. Нормальный закон распределения Н.С. В. характеризуется плотностью

21.P(a< X <b)= или

P(a< X <b) - вероятность попадания на участок ][ случайной величины x, подчинённой нормальному закону, где Ф(x)- функция Лапласа.

22. или - вероятность отклонения нормальной случайной величины X от её математического ожидания, где a=M(X), - среднее квадратическое отклонение.

18.2. Примеры решения задач.

Задача 1. Пусть X - дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:

x i
p i	0,2	0,1	0,2	0,3	0,1	0,1

а) Записать для данной случайной величины X функцию распределения F(x).

б) вычислить вероятность попадания случайной величины на участок [1, 7].

Решение: а) По определению F(x) = P(X< x)

,,тогда

б) P(a< X<b)=F(b)- F(a), тогда

P( 1 < X< 7 )=F( 7 )-F( 1 )= 0,8-0,2 = 0,6

Задача 2. Найти M(X), Д(X), дискретной случайной величины, если

x i						X
p i	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

Решение:

а)

б)

в) 2,33

Задача 3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х) = 5; дисперсия D(X) = 0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4, 7).

Решение: Если случайная величина X задана дифференциальной

функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), вычисляется по формуле:

P(a < X < b)

Если величина X распределена но нормальному закону, то

P(a < X < b), (6)

где а=М(Х) и. По условию задачи а = 5, =0,8, a=4 и b=7. Подставив эти данные в (6), получим

Задача 4. Считается, что отклонение длины изго­тавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) a= 40 см, среднее квадратическое отклонение = 0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стан­дартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение. Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале, где а = 40 и = 0,6. Подставив в формулу (6) и получим

Таким образом (7)

Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим

P (|X - 40| £0,6)=

Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8864.

18.3 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение непрерывной случайной величины и дискрет-ной случайной величины. Приведите примеры.

2. Какие законы распределения вероятностей случайной величины вы знаете? Приведите примеры для дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины.

3. Сформулируйте вероятностный смысл числовых характеристик.

4. Запишите формулы для вычисления числовых характеристик диск-ретной случайной величины и непрерывной случайной величины.

5. Определение функции распределения и плотности вероятности непрерывной случайной величины.

6. Нарисуйте график функции распределения для дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей:

x i
p i	0,5	0,3	0,2

Дата добавления: 2014-12-23