Основные понятия

Тема 14. Числовые ряды.

Пискунов, гл XVI, §1-8, упр 1-28.

Данко, ч II, гл III,§1.

1. Выражение a ₁ +a ₂ +…a_п+…= называется бесконечным числовым рядом, где an=f(n) - общий член ряда (формула бесконечной числовой последовательности).

2. Ряд называется сходящимся, если его n-я частичная сумма Sn стремится к конечному числу S при n® ¥, т.е. , S-конечное число. Если , S- конечное число, то ряд называется расходящимся.

3. Если ряд сходится, то - необходимый признак сходимости числового ряда.

4. Первый признак сравнения (достаточный признак). Если два ряда с положительными членами и , причём члены не превосходят соответствующих членов ряда т.е a_n b_n, то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость ряда

5. Второй признак сравнения (достаточный признак).

Если существует конечный или отличный от нуля предел отношения - конечное число, то оба ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся.

6. Признак Даламбера (достаточный признак).

Если для ряда существует , то этот ряд сходится при l < 1 и расходится

при l >1.

7. Признак Коши (достаточный признак).

Если для числового ряда существует конечный предел , то этот ряд сходится при c< 1 и расходится при c> 1.

8. Интегральный признак.

Если f(x) при x ³ 1-непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то , где a_n = f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится несобственный интеграл .

9. Числовой ряд - называется знакочередую-щимся.

Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов ряда убывают, а , то знакочередующийся числовой ряд сходится, т.е. если выполняются два условия:

1) |a₁| > |a₂| > |a₃|_….

2) то сходится.

10. Если S_n= a₁-a₂+…+(-1)^n-1 a_n – n -я частичная сумма.

r_n= ± (a_n+1-a_n+2 +…) - остаток ряда, тогда выполняется неравенство

½ r_n ½ <a_n+1, т.е. остаток знакочередующего ряда (r_n) по абсолютной величине меньше первого в скобках члена или остаток ряда (r_n) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

Дата добавления: 2014-12-23