Типы дифференциальных уравнений первого порядка

К выполнению контрольной работы №3

Указания

(темы 12-16)

Тема 12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Пискунов, гл. VIII, § 1-8, упр. 1-68

Данко, часть II, гл. IV, §1

12.1 Определение дифференциального уравнения первого порядка.

1.Определение. Равенство, связывающее независимую переменную х, функцию у и производные (или дифференциалы) этой функции называются дифференциальным уравнением первого порядка (DY₁) т.е.

F (x,y,y')=0 или y'=f (x,y)

Решить дифференциальное уравнение первого порядка – значит, найти неизвестную функцию y.

2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y= j (x,c), где C - постоянная, которая при подстановке в дифференциальное уравнение первого порядка обращает его в тождество. На плоскости XOY общее решение y=j(x,c) выражает семейство интегральных кривых.

3. Всякое решение y= j (x,С₀) полученное из общего решения при конкретном значении С=С₀ называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.

4. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющего начальному условию

, или , или

- называется задачей Коши

5. -ДУ₁с разделяющимися переменными.

6. - ОДУ₁ – однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка или , где , - однородные функции одного измерения. Используется подстановка

7. , где . ДУ₁, приводимое к однородному подстановкой

, где - точка пересечения прямых

и

Если , то используется подстановка

8. , где - называется уравнением в полных дифференциалах.

Где - полный дифференциал функции

Решить данное уравнение- значит, найти функцию и.

9. - линейное ДУ₁ (ЛДУ₁)

Если , то уравнение неоднородное,

Если , то уравнение однородное.

ЛДУ₁ интегрируются:

1) Методом Бернулли (с помощью подстановки y = иv, где u и v -пока неизвестные функции)

2) Методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную.

10. , где m - число, m¹0, m¹1 - дифференциальное уравнение Бернулли, решаемое либо с помощью подстановки y= uv, либо методом Лагранжа (см. пункт 9).

12.2. Примеры решения задач.

Задача 1. Найти частное решение ДУ₁ , удовлетворяющему начальному условию .

Решение: Данное уравнение с разделяющимися переменными.

Т.к. , то уравнение примет вид:

или - после отделения переменных.

Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:

или -общее решение

Используя начальное условие , , находим . Тогда из общего решения выделяется частное решение:

Задача 2. Найти общее решение уравнения

Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных x и y. Применяем подстановку y=xt, где t - некоторая функция аргумента x. Если y= xt, то дифференциал dy = d(xt) = tdx+ xdt, и данное уравнение примет вид:

2xxtdt+(x²t²-x²) (tdx+xdt)= 0

Сократив на x², будем иметь:

2tdx+(t²-1) (tdx+xdt)=0

2tdx+(t²-1) tdx+x (t²-1)dt=0

t(2+t²-1) dx+x (t²-1)dt=0

t(1+t²)dx= x(1-t²)dt; .

Мы получили уравнение с разделёнными переменными относительно x и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Потенцируя, находим , или x(1+t²)=Ct. Из введённой подстановки следует, что . Следовательно, или x²+y²= Cy – общее решение данного уравнения.

Задача 3. Найти общее решение уравнения y'-y tg x=2 xsec x.

Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и её производную y' в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку y= uv, где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x. Если y=uv, то y'= (uv)'= u'v+uv' и данное уравнение примет вид: u'v+uv'-uvtg x= 2x sec x,

или

v(u'-utg x)+ uv'= 2xsec x. (1)

Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е выберем функцию u так, чтобы имело место равенство

u'-utg x= 0 (2)

При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид

uv'= 2 x sec x. (3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:

ln u= -ln cos x, или

(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:

secxv'= 2 xsecx; v'= 2 x; dv= 2 xdx. Интегрируя, получаем v=x²+C. Тогда y=secx(x²+C) - общее решение данного уравнения.

12.3. Вопросы для самоконтроля.

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Как определяется порядок уравнения? Примеры.

3. Что значит решить ?

4. Какая функция называется решением ?

5. Какое решение называется общим, частным?

6. Как найти частное решение по начальным условиям? Записать план операций, выполняемых при решении на примере y'- 2 x= 0 при начальных условиях y (-2) = 4.

7. Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения .

Дата добавления: 2014-12-23