Тема 17. Случайные события. Вероятность событий.

17.1 Основные определения и формулы.

1. Определение. Вероятностью события А в данном испытании называется число, выражающее меру объективной возможности появления этого события.

2. - классическая формула для вычисления вероятности события А, где m -число исходов испытания, благоприятствующих событию А, n - число всех единственно возможных, несовместных и равновозможных исходов испытания. Р(А) - вероятность события А.

3. Р(А)=0, если событие А - невозможное событие.

4. Р(А)=1, если событие А - достоверное событие.

5. 0< Р(А)<1, если событие А - случайное.

6. Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если события А и В несовместны.

7. Если А и - противоположные события, то Р(А)+Р=1 - сумма

вероятностей двух противоположных событий.

(А+) - событие достоверное, А и- события несовместные.

8. Если события А и В независимы, то Р(А×В)=Р(А)×Р(В), где событие (А×В) –произведение (совмещение) двух независимых событий А и В.

9. Если события А и В зависимы в данном испытании, то, где событие (А×В)- произведение двух зависимых событий. - вероятность события В при условии, что событие А наступило.

10. Если события А и В совместны, то Р(А+В)= Р(А)+ Р(В)- Р(А×В)

11. где B₁, B₂ …,B_n - несовместные события или гипотезы. Событие А может наступить совместно с одной гипотез.

12. - формула Бейеса, которая позволяет переоценить вероятность гипотез после того как становится известным результат испытания в результате которого появилось событие А.

13. - формула Бернулли, где - число сочетаний из n элементов по m в каждом. р =P(A), q =P. Используется формула Бернулли при повторении испытаний. Событие А может появиться или не появиться в каждом из n испытаний.

14. Локальная формула Лапласа, где n - число испытаний. - значения этой функции можно найти в соответствующей таблице (см приложение 1) Локальная формула Лапласа используется при повторении испытаний, когда число их (испытаний) велико.

15. - интегральная формула Лапласа. где

- функция Лапласа, значения которой можно найти в соответствующей таблице (приложение 2). Для x >5 полагают Ф(x) = 0,5; Ф(-x)=-Ф(x) - функция нечётная. Используется интегральная формула Лапласа при повторении испытаний (n -велико).

16. - формула Пуассона, где n - число испытаний, р= P(A) Формула Пуассона применяется в тех случаях, когда p = P(A)- невелика.

17.2. Примеры решения задач.

Задача 1. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули два

шара (возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение: Пусть событие А - появление белого шара при первом вынимании, событие В - появление белого шара при втором вынимании. События А и В независимы.

Тогда P(A×B)=P(A)×P(B), где Имеем

Ответ:

Задача 2. В условии предыдущей задачи пусть первый шар не возвращается в ящик.

Решение: Событие А - появление белого шара при первом вынимании. Событие В - появление белого шара при втором вынимании.

А и В - зависимые события.

Тогда

Ответ:

Задача 3. Всхожесть семян данного растения со­ставляет 90%. Найти

вероятность того, что из пяти по­сеянных семян взойдут: а) четыре; б)

не менее четырех.

Решение: Воспользуемся формулой Бернулли. Ес­ли производится п независимых испытаний, при каж­дом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q= 1 — p, то вероятность Р_п (т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле:

(1)

где есть число сочетаний из п элементов по m.

а) По условию задачи вероятность всхожести семян р =0,9; тогда

q = 0,1; в данном случае n = 5 и т = 4. Под­ставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким об­разом, Р(А) = Р ₅(4) + Р ₅(5). Первое слагаемое уже най­дено. Для вычисления второго снова применяем форму­лу (1):

Следовательно, Р(А) = 0,328 + 0, 591 =0,919.

Задача 4. Вероятность появления события А в каж­дом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие Ав этих испытаниях появится ровно 415 раз.

Решение: Если число испытаний п велико, то при­менение формулы Бернулли приводит к громоздким вы­числениям. Использование этой формулы становится практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локаль­ной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р от­лично от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность Р_n(m) того, что в этих испытаниях со­бытие A наступит т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле:

(2)

где а

Имеются готовые таблицы значений функции (см. табл. 1 Приложения).

Для x >5 считают, что Так как функция четная, то По условию задачи п = 625, m = 415, p=0,64. Находим q= 1 —0,64 = 0,36. Определяем значение х при этих данных:

По табл. 1 находим, что = 0,1 826. Подставив это значение в (2), получим

Задача 5. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Како­ва вероятность при случайном отборе 5000 семян обнару­жить 5 семян сорняков?

Решение: Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность р близка к нулю, при­водит к значительному отклонению от точного значения Р_п(т), При малых значениях р (и при малых значени­ях q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит т раз, вычисляется приближенно по формуле

(3)

где

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда При этом чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи n = 5000, m= 5, р = 0,0004. Тогда = 5000× 0,0004 = 2. Применяя (3), получим:

Задача 6. Вероятность попадания в цель при отдель­ном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение: Формулы Бернулли, Пуассона, асимп­тотическая формула(2),

выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появ­ления события А ровно т раз при п независимых испы­таниях. На практике часто требуется определить вероят­ность того, что событие А наступит не менее т ₁раз и не более т ₂раз, т. е. число m определено неравенствами. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р от­лична от нуля и единицы), а число п достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее m ₁ раз и не более m₂раз, вычисля­ется приближенно по формуле

(4)

где

Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т.е. Ф(-x)= — Ф(x). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) явля­ется монотонно возрастающей. При неограниченном воз­растании х функция Ф(х) стремится к 0,5. Если восполь­зоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:

(5)

По условию n = 600, р = 0,6, m₁ = 330, m₂== 375. Находим и:

По табл. 2 находим Ф( 1,25 ) = 0,3944; Ф (-2,5) = -Ф (2,5) = -0,4938. Подставив эти значения в (5), по­лучим искомую вероятность:

17.3. Вопросы для самопроверки.

1. Дайте понятия испытания и события.

2. Сформулируйте определение вероятности события.

3. Приведите примеры невозможных, достоверных, случайных событий.

4. Понятие полной группы событий.

5. Какие два события называются противоположными?

6. Сформулируйте теорему сложения совместных событий, несовместных событий.

7. Сформулируйте теоремы умножения зависимых, независимых событий.

8. Запишите формулу полной вероятности, формулы Бейеса.

9. На что указывает формула Бейеса?

10. В чём заключается смысл локальной и интегральной теорем Лапласа?

11. Запишите формулу Бернулли. Когда она применяется?

Дата добавления: 2014-12-23