Уравнение неразрывности

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ ГАЗОВОГО ПОТОКА

Движение газа в элементах реальных энергетических установок имеет сложный трехмерный характер, а дифференциальные уравнения, описывающие поток, в ряде практически важных случаев затруднительны для решения и анализа. В термодинамике газового потока применяется более простой (одномерный) подход, с использованием первого закона термодинамики. При этом вводятся следующие два допущения:

1. Движение газа является стационарным (т.е. установившимся) в любой точке пространства, а параметры потока (скорость, давление, температура, плотность) не изменяются во времени.

2. Параметры потока во всех точках рассматриваемого сечения одинаковы, их изменение происходит лишь в направлении движения.

Строго говоря, уравнения, полученные для этих условий, соблюдаются лишь для элементарной струйки, поперечные размеры которой очень малы. Ниже рассмотрены основные уравнения термодинамики газовых потоков.

Выделим в потоке газа в канале с непроницаемыми стенками объем, ограниченный сечениями 1 и 2, перпендикулярными скорости потока (рис. 4.1). Тогда расход газа G (количество газа, проходящее через поперечное сечение канала в единицу времени, кг/с) будет равен:

G = c ρ F, (4.1)

где c, F – скорость потока и площадь поперечного сечения канала. Так как поток установившийся, то расход газа, поступающий в рассматриваемый объем, равен расходу газа, выходящего из этого объема (G ₁ = G ₂₎.

Если это условие не выполнено, то в объеме 1−2 будет изменяться масса газа; а параметры потока (р, Т, с) будут переменными. Следовательно, в стационарном потоке расход газа через сечения канала одинаков G ₁ = G ₂ = const, или в математической форме:

c · ρ · F = const. (4.2)

Уравнение (4.2) представляет собой уравнение неразрывности (сохранения массы) стационарного потока.

Выполнив логарифмирование и последующее дифференцирование уравнения (4.2), получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

, (4.3)

или:

. (4.3*)

Если стенки канала проницаемы и через них в канал может втекать дополнительный газ, то условие (4.2) не выполняется. В этом случае уравнение неразрывности в дифференциальной форме будет иметь следующий вид

. (4.3**)

Здесь dG – изменение расхода газа на элементарной длине канала dx.

Для произвольного сечения потока, составляющего угол α снаправлением нормали к вектору скорости, расход определится уравнением G = c ρ F _α cos α, где F _α – площадь сечения канала, составляющего угол α с направлением нормали к вектору скорости (рис. 4.1).

Дата добавления: 2014-12-27