Способы математического описания звеньев и систем

1) Статические и динамические характеристики

Зависимость у=f(x) звена или системы в установившемся состоянии называется статической характеристикой.

Для большинства реальных систем «у» имеет область насыщения, но в области изменения «х» от -х1 до +х1 характеристику можно считать линейной.

График

И рисунки

Примером нелинейной характеристики может быть электромагнитное реле.

Математическая зависимость, связывающая выходной сигнал с входным в переходном процессе называется динамической характеристикой звена.

у(t)=f[x(t)]

График

t_п – время переходного процесса

Линейные динамические звенья могут быть как направленного, так и ненаправленного действии. Направленность значит, что энергия, вещество, информация могу распространяться лишь в одном направлении, причём выход звена не влияет на вход. Ненаправленность – выход влияет на вход.

Существуют следующие формы математического описания динамических свойств линейных звеньев и систем:

1) дифференциальные уравнения;

2) передаточные функции;

3) временные характеристики;

4) частотные характеристики.

Каждая из форм может быть преобразована в другую.

Дифференциальные уравнения.

Математическая связь между выходной и входной величиной и их производными по времени для большинства тепловых объектов и регуляторов составляется на основе общих законов термодинамики, гидравлики, электротехники и приближённо может быть описана с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В общем случае дифференциальное уравнение элемента АСР имеет следующий вид.

Коэффициенты a,b определяются по данным теплового расчёта, по конструктивным характеристиках или определяются экспериментальным путём на действующих установках.

Пример

Риссссунок

Это резервуар, из которого насосом откачивается вода, причём Q_ст постоянная величина.

Запишем приращения материальных величин:

- дополнительный приток воды после открытия крана.

Во времени

Это уравнение эквивалентно:

Решение такого уравнения при ступенчатом возмущении «х», а такое возмущение обычно принимают единичным (х=1) имеет вид y(t) =К_иt

Т.е. приращение уровня воды в баке прямопропорционально во времени.

Графически:

Составить дифференциальные уравнения для системы со свободным стоком.

Передаточные функции

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Умножение переменной на Р означает дифференцирование, а деление – интегрирование. При каких условиях изображение рассмотренных дифференциальных уравнений имеют такой же вид, как сами уравнения, полученные путём простой подстановки в них Р вместо t.

2 ФОРМУЛЫ

Если уравнение более высокого порядка и имеет производные в правой части, то тогда его можно записать в виде

D и B – многочлены, зависящие от Р.

Если бы мы смогли преобразовать y(t) и x(t) в функции переменной Р: Y(P) и X(P) то могли бы решать дифференциальные уравнения алгебраически относительно Р. Такое преобразование можно осуществить с помощью интеграла Лапласа-Карсона.

После интегрирования и подстановки пределов вместо t получится выражение, не содержащее t и зависящее от Р, в которых Р рассматривается уже не как символ дифференцирования, а как число. Функция х(t), которая подвергается преобразованию, называется оригиналом, а функция Х(Р), получаемая в результате преобразования, называется изображением. Записывается это так:

L – лапласиан

После преобразования и получения Y(P) и Х(P) дифференциальное уравнение можно записать в виде:

Или иначе

W(P) – передаточная функция

Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины называется передаточной функцией, или иначе оператором, звена.

Это равенство справедливо при нулевых начальных условиях, т.е. при t = 0.

Т.е. при система находилась в состоянии покоя.

При таких условиях изображения рассмотренных дифференциальных уравнений имеют такой же вид, как сами уравнения, полученные путём простой подстановки в них Р вместо t.

Тогда передаточная функция:

После решения дифференциального уравнения в преобразованном виде необходимо результат решения преобразовать в обратную сторону, т.е. по изображениям найти оригинал.

x(t) = 0 при

x(t) = х при

x(t) = х

Т.е. изображение постоянной величины равно самой величине.

Изображение производной функции

Дата добавления: 2015-04-29