Теорема о пределе сложной функции

Понятие предела функции

Опр. Пусть функция f(x):x⇾R определена на Х. Х ⊂ R. Точка А – предельная точка, возможно, не принадлежащая Х. Рассмотрим числовую последовательность ()

Опр. Число b называется пределом f(x) при х⇾а если для любой последовательности последовательность значений функции g(x)⇾b при n⇾∞.

Опр. Число b называется пределом функции f(x)при х⇾∞, если для любой большой последовательности, аргументы функции последовательность значений функции f()⇾b

Односторонние пределы

а х справа

Теорема. Для того чтобы функция имела предел в точке а, необходимо и достаточно в этой точке совпадали пределы в такой точке а равной значению односторонних пределов.

_{φ f}

X⇾Y⇾R

X, Y ⊂ R

Z=f(y) и y=φ(y)

В некоторой точке а, которая является предельной для Х, существует предел функции , и b – предельная точка для, существует предел функции

(1), (2) =>

В некоторой окрестности а функция φ(x) принимает значения не равные b.

∃ ∂ > 0: 0 < | x – a | < ∂ = > φ (x) = b

Доказательство

Возьмём производную , тогда . Рассмотрим последовательность f (φ ()) = , т.к. существует предел последовательности f (φ ()) ⇾ А. Что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-03-29