Теорема Ролля

Дифференцируемые функции

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке (a;b) и диффер. На внутр. точках этого отрезка. И пусть f(a)=f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ℥ такая что f’(℥ =0

Доказательство:

1 случай:

Функция = const

f(x)=c=f(a)=f(b)

Тогда в качестве ℥ - любая точка

2 случай:

Функция не является константой.

f(x) const

f(x) – непрерывна. Поэтому она достигает на этом отрезке – min и max значения.

И одно из этих значений обязательно не является концом отрезка => В этой точке (которая не совпадает) имеем локальную точку. В которой производная равна 0.

Теорема Лагранжа (теорема о среднем)

Пусть функция y=f(x) не прерывна на отрезке (a;b) и дифф. на этом отрезке. Тогда существует хотя бы одна точка, ℥ принадлежащая этому интервалу, такая что:

f(℥)=

Доказательство:

Строим F(x)

V

a ℥ b u

= ; ;

y=f(a)+

F(x)=f(x)-f(a)-

F(a)=0 F(b)=0

Поэтому существует такая точка ℥, которая F(℥)=0

Подставим

0=f’(℥)-

0= f’(℥)-

f(b)-f(a)= f’(℥)(b-a) – прев.функция

Следствие:

Если функция на интервале (a;b) имеет нулевую производную, то эта функция на данном интервале является const.

f(x)-f(a)= f’(℥)(x-a)=0 (x-a)=0

x – любая точка ℥

f(x)=f(a)

Доказано.

Дата добавления: 2015-03-29