Теорема о непрерывности сложной функции

Арифметические операции над функциями в непрерывных точках

y = f (x)

y = g (x)

a ∊ X – точка непрерывности функций

тогда:

функции 1) A · f(x) + B · g(x), A,B-const

2) f(x) ·g(x)

3)

Доказательство

1. lim (A · f(x) + B · g(x)) = A · f(a) + B · g(a)

lim A · f(x) + lim B · g(x)= A · lim f(x) + B · lim g(x) при х⇾а = A · f(a) + B · g(a)

2. lim (f(x) ·g(x)) = f(a) ·g(a)

lim f(x) · lim g(x) при х⇾а = f(a) · g(a)

Пусть функция x = φ(t) определена на T = {t} и непрерывна в точке а, а ∊ Т.

x = φ(t) T = {t}

y = f(x) X = {x} при чем множество Х совпадает с множеством значений функции φ(t)

φ

f тогда сложная функция y = f(φ(t)) непрерывна в точке а.

Доказательство

По определению φ(t) непрерывна в а =>∀∂>0 ∃𝛿(𝛿)>0 |t-a|<𝛿 => |φ(t)- φ(a)|<𝛿; |x - b|<𝛿

y = f(x) непрерывна в точке b поэтому

∀ε>0 ∃𝛿(ε)>0 |x - b|<𝛿:

|f(x) – f(b)|<ε

|f(φ(b)) – f(φ(a))|<ε

Элементарная функция f(φ(t))непрерывна (по Коши) в точке а. Что и требовалось доказать.

V(x)

y = u(x) y = - показательная степень

ln y = V(x)lnu(x)

y =

Классификация точек разрыва

f() = f(a+0) = f(a)

1. Точка а =- устранимая точка разрыва, если существующие пределы слева, справа, равны между собой, но не равны значению функции в а (либо а функция не определена)

f(a-0) = f(a+0) ≠ f(a)

2. Точка а – точка разрыва первого рода, если существует предел справа, существует предел слева, но они не равны между собой

Примечание: если f(a) = f(a-0) ≠ f (a+0), то функцию называют непрерывной слева.

3. Точка а – точка разрыва второго рода, если она не является ни устранимой, ни разрывом второго рода (хотя бы одни из односторонних пределов равен бесконечности либо не существует вообще).

Функция непрерывна на [a;b] за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, она называется кусочно-непрерывной.

Дата добавления: 2015-03-29